ПОСТРОЕНИЕ НОРМАЛЬНОГО БАЗИСА В РАСШИРЕНИИ БЕЗ ВЫСШЕГО ВЕТВЛЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ЛОКАЛЬНОГО ПОЛЯ Мадунц А.И.

Санкт-Петербургский государственный университет


Номер: 7-1
Год: 2015
Страницы: 8-11
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

теория чисел, двумерные локальные поля, ветвление, theory of numbers, 2-dimensional local fields, ramification

Научная статья

Аннотация к статье

Работа посвящена изучению ветвления и построению нормального базиса кольца целых в расширении без высшего ветвления двумерного локального поля.

Текст научной статьи

Поленазывают двумерным локальным полем, если существует набор полей такой, что -- конечное поле порядка , причем является полем вычетов полного нормированного поля , а -- полем вычетов полного нормированного поля . Локальное поле называют конечным расширением локального поля, если поле - конечное расширение поля и любое нормирование есть продолжение нормирования . Последнее условие означает, что для локальных униформизующих поля и поля выполнены соотношения где - единицы поля , -- натуральные числа, -- целое число. Индекс ветвления расширения локального поля есть . Расширение не имеет высшего ветвления, если взаимно просто с (-- характеристика поля вычетов). Докажем, что в случае нормального расширения без высшего ветвления двумерного локального поля для кольца целых поля над кольцом целых поля существует нормальный базис, то есть, базис вида где -- кольцо целых поля . Расширение локального поля называется распадающимся, если автоморфизм Фробениуса на подполе инерции можно продолжить до автоморфизма всего поля так, что ( степень инерции расширения локального поля ). Как и в случае классического локального поля, верны следующие утверждения. Предложение 1. Расширение без высшего ветвления распадается тогда и только тогда, когда найдутся такие локальные параметры поля и поля , что где . Предложение 2. Любое нормальное расширение без высшего ветвления можно погрузить в нормальное распадающееся расширение, сделав при этом неразветвленное расширение. Перейдем теперь к изучению строения кольца целых расширения без высшего ветвления двумерного локального поля . Теорема. В нормальном расширении без высшего ветвления двумерного локального поля кольцо целых имеет нормальный базис. Доказательство проведем в несколько этапов. 1 шаг. Пусть вполне разветвлено. Тогда элемент где порождает нормальный базис кольца целых поля кольцом целых поля в том и только том случае, когда все вычеты . Действительно, базисом кольца над кольцом является множество Группа Галуа порождена автоморфизмами и , действие которых на локальные параметры выражается следующим образом: причем -- первообразный корень степени из , -- первообразный корень степени из и Ищем матрицу перехода от базиса к системе Если определитель этой матрицы является единицей кольца , то элемент порождает нормальный базис. Очевидно, что из каждого столбца этой матрицы можно вынести соответственно. Займемся оставшимся определителем. Введем вспомогательные матрицы . Тогда искомая матрица имеет вид . Так как и -- первообразные корни из единицы степеней соответственно, то определитель матрицы - единица поля . Следовательно, определитель матрицы перехода не ноль в поле вычетов тогда и только тогда, когда все коэффициенты ненулевые в поле вычетов. 2 шаг. Пусть -- распадающееся расширение. В этом случае произвольный элемент кольца снова представляется в виде где но уже все лежат в поле инерции поля над полем . Выберем локальные параметры так, как в Предложении 1, то есть, где . Тогда группа Галуа порождена автоморфизмами и , такими, что ,, где и - первообразные корни из единицы степеней и соответственно, , -- корень степени из единицы, -- продолжение автоморфизма Фробениуса с подполя инерции на все поле такое, что Очевидно, что базисом кольца над кольцом будет являться множество , где , а -- базис расширения поля вычетов. Элемент порождает нормальный базис кольца над кольцом тогда и только тогда, когда каждый вычет порождает нормальный базис в расширении поля вычетов. Действительно, так как - базис расширения поля вычетов, то для любых существует такая матрица с коэффициентами из поля , что . Ищем определитель матрицы перехода от базиса к системе Аналогично случаю 1, он равен произведению определителей всех матриц на некий определитель, являющийся единицей поля . Поэтому для того, чтобы определитель матрицы перехода был единицей, необходимо и достаточно, чтобы все матрицы были невырождены в поле вычетов. 3 шаг. Общий случай расширения без высшего ветвления. Пусть - расширение локального поля без высшего ветвления. По Предложению 2 его можно при помощи неразветвленного расширения погрузить в распадающееся расширение . Тогда по случаю 2 в расширении существует элемент, порождающий нормальный базис кольца над кольцом . Так как расширение неразветвлено, то функция след удовлетворяет соотношению Поэтому еслипорождает нормальный базис кольца над кольцом , то элемент порождает нормальный базис кольца над кольцом . Получаем, что в случае произвольного расширения без высшего ветвления двумерного локального поля существует нормальный базис для кольца целых.

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.