ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ ОКРУЖНОСТЕЙ Андреев-Твердов А.И.,Хуснетдинов Т.Р.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана


Номер: 3-3
Год: 2017
Страницы: 41-45
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

окружность, аксонометрическая проекция, эллипс, плоскость общего положения, ортогональная система координат, ось, circle, perspective view, ellipse, generic plane orthogonal coordinate system, axis

Научная статья

Аннотация к статье

В статье изложен способ построения аксонометрической проекции окружности, расположенной в плоскости общего положения по отношению к плоскостям, образованным аксонометрическими осями. Приведен пример построения эллипса - проекции окружности для проецирующей плоскости, который без принципиальных изменений может быть распространен и для условий плоскости общего положения. Предлагаемая статья может быть рекомендована для студентов, углубленно изучающих курсы начертательной геометрии и инженерной графики, а также может быть полезна для слушателей факультета повышения квалификации и начинающих молодых преподавателей в качестве вспомогательного материала в работе со студентами.

Текст научной статьи

Введение В теоретическом аспекте вопрос построения аксонометрической проекции окружности рассмотрен в полном объеме в учебной литературе [1, 234-258; 2, 203-216; 3, 190-200; 4, 300-315; 5, 132-147; 6, 46-48]. В настоящей работе приведены практические приемы построения аксонометрических проекций окружностей, расположенных в плоскостях общего положения. В общем случае окружность проецируется на аксонометрическую плоскость в эллипс, большая ось которого есть проекция диаметра, параллельного аксонометрической плоскости. Аксонометрия любой окружности может быть выполнена как эллипс, проведенный через несколько аксонометрических проекций точек, заданной окружности, каждая из которых найдена по координатной ломанной, соответствующей этой точке. Применение этого универсального способа ограничено большим объемом построений и весьма низким итоговым сходством. Если окружность параллельна аксонометрической плоскости, то ее аксонометрическая проекция - конгруэнтная ей окружность. Этот частный случай применяют в косоугольных диметрических аксонометриях, в которых одну из плоскостей ортогональной системы координат располагают параллельно аксонометрической плоскости. Если плоскость, проходящая через окружность, перпендикулярна аксонометрической плоскости, то проекция окружности - это отрезок прямой, равный по величине диаметру. Таких случаев надо избегать, так как это снижает наглядность изображения [6, 46-48]. Построение аксонометрических проекций окружностей, расположенных в плоскостях ортогональной системы координат или параллельных им, для прямоугольных и косоугольных аксонометрических проекций приведено в ГОСТ 2.317-69 «Аксонометрические проекции». Для окружности, размещенной в плоскости общего положения [1, 234-258], построение эллипса начинают с определения направления малой оси, которое совпадает с проекцией перпендикуляра к плоскости окружности, проходящего через центр окружности, на аксонометрическую плоскость. Длину малой полуоси получают как проекцию радиуса, выходящего из центра окружности по тому же перпендикуляру. Большая ось эллипса перпендикулярна малой оси и равна диаметру окружности. Рассмотрим другой способ построения аксонометрической проекции окружности, когда она расположена в плоскости, непараллельной плоскостям ортогональной системы координат. Аксонометрию окружности будем строить, предварительно вписав ее в квадрат. Пример построения приведен на рис. 1, 2 для условий прямоугольной изометрической проекции (направление проецирования перпендикулярно аксонометрической плоскости и коэффициенты искажения по осям X, Y, Z равны между собой и равны единице). Рис. 1. Построение аксонометрии окружности, лежащей в плоскости, непараллельной плоскостям ортогональной системы координат (исходный комплексный чертеж) Рис. 2. Построение аксонометрии окружности, лежащей в плоскости, непараллельной плоскостям ортогональной системы координат (аксонометрическая проекция) Совместим оси ортогональной системы координат с осями проекций комплексного чертежа, окружность n разместим во фронтально-проецирующей плоскости. Вокруг окружности опишем квадрат 1-2-3-4 (рис. 1). Построения на рис. 2 выполнены по исходным данным из рис. 1. Аксонометрическая проекция квадрата - параллелограмм 11-21-31-41 (рис. 2). Изображение параллелограмма выполнено через равенство координат для точек комплексного чертежа и их аксонометрий (kx=ky=kz=1). Разделив стороны параллелограмма пополам, получаем четыре точки эллипса, и, в первом приближении, он может быть проведен через эти точки, а также условию касания со сторонами параллелограмма в этих точках и известному виду этой кривой второго порядка. Для построения промежуточных точек может быть применена схема (рис. 3), когда за исходные данные принимают сопряженные диаметры. При проецировании окружности в эллипс (при сжатии окружности) два перпендикулярных в планиметрии диаметра отображаются в два диаметра эллипса, которые называют сопряженными. Рис. 3. Построение эллипса по заданным сопряженным диаметрам Полустороны параллелограмма 21А1; А111 в указанной последовательности делим точками 1'; 2'; 3'; 1''; 2''; 3'' на равные отрезки. Также равные отрезки Е13'''; 3'''2'''; 2'''1'''; 1'''D1 создаем на половине сопряженного диаметра. Точки эллипса расположены в пересечении лучей, выходящих из B1; D1, и проведенных через точки деления с одинаковыми номерами, как это показано на рис. 3. В аксонометрических проекциях, при «ручном» построении эллипса, лекальную кривую заменяют четырехцентровым овалом, состоящим из четырех последовательно сопряженных дуг окружностей. Для нашего случая по известным аксонометрическим проекциям сопряженных диаметров А1С1 и B1D1 определяют направление и длины большой, и малой осей эллипса [4, 300-315]. Эти данные исходные и достаточные для построения овала. Для окружностей, расположенных в плоскостях общего положения по отношению к плоскостям определяемых аксонометрическими осями, без каких-либо существенных изменений, применим вышеизложенный способ построения аксонометрических проекций окружности, принадлежащей проецирующей плоскости. Далее рассмотрим способ построения эллипса - аксонометрической проекции окружности по восьми точкам. Этот способ целесообразно применять, когда диаметр окружности менее 15-20 мм. В комплексном чертеже заключаем окружность в квадрат (рис. 1) и строим его аксонометрическую проекцию - ромб или параллелограмм (рис. 4). Рис. 4. Построение эллипса по восьми точкам В пересечении диагоналей находим центр эллипса и через эту точку проводим прямые, параллельные сторонам четырехугольника, на которых расположены точки эллипса А1B1C1D1. Любую половину стороны четырехугольника принимаем за гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника KMN. Катет треугольника KM откладываем как показано на рис. 3 по стороне четырехугольника. От полученных засечек проводим прямые, параллельные A1C1 и в пересечении с диагоналями находим еще четыре точки эллипса E1F1G1H1. Через эти точки, дополнительно используя условия касания, «от руки» дорисовываем эллипс. Дополнительные касательные, проходящие через точки E1, F1, G1, H1, параллельны диагоналям. Эллипс - плавная монотонная кривая (нет точек излома и скачков изменения радиуса кривизны) с центром симметрии и двумя осями симметрии. Правомерность таких построений может быть доказана из условий параллельного проецирования [5, 132-147]. Если в заданной детали четыре и более одинаковых окружностей малого диаметра, то оправдано изготовление шаблона, который затем с помощью двух булавок фиксируют в нужных местах чертежа и обводят. В качестве материала шаблона подходит картон. Для прямоугольной изометрической проекции при выполнении малых эллипсов допускается применение готовых промышленных трафаретов с отверстиями в форме эллипсов. Выводы Предложенный способ построения аксонометрической проекции окружности, принадлежащей плоскости общего положения, прост и универсален, не требует знания дополнительных специфических приемов, обеспечивает необходимую точность, кроме того, во всех случаях возможна замена эллипса на четырехцентровой овал.

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.