УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОЙ КОНЕЧНОСТИ ПОДМНОГООБРАЗИЙ КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ ПОЛУДИСТРИБУТИВНЫХ РЕШЕТОК Пургин А.В.

Красноярский государственный педагогический университет имени В.П. Астафьева


Номер: 10-
Год: 2014
Страницы: 18-20
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

решетки, многообразия решеток, квазимногообразия решеток, конечно определяемое многообразие, локально конечное многообразие, lattice, varieties of lattices, quasivarieties of lattices, locally finite variety

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В работе приведены результаты, полученные при подходе к решению известной проблемы Гретцера 1.30 [1].Получен ответ на вопрос Ли [3], а именно, явно установлено существование собственного конечно определяемого подмногообразия многообразия околодистрибутивных решеток ND, не являющегося локально конечным. В статье продолжаются исследования автора [6-9].

Текст научной статьи

§ 1. Метод построения конечно порожденных решеток Все необходимые нам определения см. в [1-5, 9]. Рассмотрим метод, позволяющий строить бесконечную последовательность конечно порожденных конечных решеток и как следствие, бесконечную конечно порожденную решетку. Метод состоит в следующем. Пусть L - конечная решетка, и a, b, c - и только они являются дважды неразложимыми (т. е. неразложимыми в объединение и в пересечение) элементами, причем для любого x Î L x ¹ a, b, c, x есть некоторое слово от элементов a, b, c. 0 и 1 - соответственно нуль и единица решетки L. Решетку L1 строим следующим образом: берем решетку L и добавляем к ней 5 элементов a1, c1, d1, e1, 11 так, что e1 и d1 покрывают 1, 11 покрывает e1 и d1 , a1 покрывает a, c1 покрывает c, e1 покрывает a1, d1 покрывает c1. Таким образом, имеем следующие соотношения: a1+c1=11, a1+b=e1 (так как a1 || b и a1 || 1 получаем a1+b=a1+1=e1), c1+b=d1 (показывается аналогично предыдущему случаю), e1+d1=11, e1 d1=1, a11=a, c11=c. Все остальные элементы порождаются элементами a, b, c, но a и c, как показано выше, порождаются элементами a1, b, c1,тем самым, любой элемент x решетки L1 порождается элементами a1, b, c1. Далее аналогичным образом строится решетка L2, где a1, b, c1 рассматриваются как a, b, c на предыдущем шаге. Используя этот метод, получаем последовательность решеток L1, L2,…,Ln ,… Теорема 1.1. Для любого n Î N решетка Ln порождена элементами an , b, cn. Доказательство. Докажем утверждение индукцией по n, при n = 1 доказательство следует из выше изложенного метода. Пусть предложение верно при n = k - 1 £ 1 , покажем, что оно верно при n = k. Для n = k - 1 решетка Lk-1 порождена элементами ak-1, b, ck-1. Используя метод, строим решетку Lk . Рассмотрим решетку Lk-1 , добавляем к ней 5 элементов ak, ck, dk, ek, 1k так, что ek и dk покрывают 1k-1 , 1k покрывает ek и dk , ak покрывает ak-1 , покрывает ck-1 , ek покрывает ak , dk покрывает ck . Таким образом, имеем следующие соотношения: ak + ck =1k , ak + b =ek , ck + b =dk , ek + dk =1k , ek dk =1k-1, ak 1 =ak-1 , ck 1 =ck-1. Все остальные элементы порождаются элементами ak-1 , b, ck-1 , но ak-1 и ck-1 , как показано выше, порождаются элементами ak , b, ck , тем самым, любой элемент x решетки Lk порождаются элементами ak , b, ck . Теорема доказана. Теперь мы можем описать строение бесконечной решетки Lw: решетка Lw имеет в качестве подрешетки L (т. е. первоначальную решетку, с которой начиналось построение последовательности решеток Ln ), причем наименьшие элементы решеток Lw и L совпадают, наибольший элемент решетки L и элементы a и c не имеют покрытий (т. е. следующие цепи имеют счетные мощности: aw ³ … > a, cw ³ … > c, 1w ³ dw ³ … > 1, 1w ³ ew ³ … > 1 . Теорема 1.2. Решетка Lw порождена 5 элементами a, b, c, aw , cw . Доказательство. Очевидно, что любой элемент x подрешетки L порождается элементами a, b, c. Рассмотрим элемент x Î Lw \ L, покажем, что элемент x порождается элементами aw , b, cw . Для удобства доказательства переобозначим элементы, а именно: элемент aw обозначим a1 , элемент cw обозначим c1 , элемент ew = aw +b обозначим e1 , элемент dw = cw +b обозначим d1 , элемент покрываемый элементом a1 обозначим a2 , элемент покрываемый элементом c1 обозначим c2 ,… , элемент покрываемый элементом ai обозначим ai+1 , элемент покрываемый элементом ci обозначим ci+1 для любого натурального i. Нетрудно видеть, что элемент x принадлежит множеству { ai, ci, ei, di , 1i }, где 1i= ai + ci , ei = ai + b , di = ci + b . Следовательно, осталось показать, что ai и ci порождаются элементами a1 , b , c1 . Докажем утверждение по индукции, при i = 1 утверждение очевидно, пусть предложение верно при i = k - 1 ³ 1 , покажем, что оно верно при i = k . Итак ak-1 и ck-1 порождаются элементами a1, b, c1. Так как ak-1 не сравним с b и ck-1 не сравним с b, то ak = a1(ak-1 + b)( ck-1 + b) и ck = c1(ak-1 + b)( ck-1 + b).Теорема доказана. Теорема 1.3. Многообразие Ka не является локально конечным. Доказательство. Рассмотрим решетку L9 . Используя приведенный выше метод, строим бесконечную последовательность решеток L91 , L92 ,…, L9n ,… По теореме 1.1 эта последовательность является последовательностью конечно порожденных (3-порожденных) решеток, каждая из которых является подрешеткой последующей решетки, и по теореме 1.2 решетка L9w также является конечно порожденной (5-порожденной). Непосредственная проверка (используя лемму 1.5.) показывает, что тождество, определяющее класс K15 и ему двойственное выполняются на решетках L9w для любого конечного либо счетного w , т.е. многообразие Ka содержит конечно порожденную бесконечную решетку. А значит по определению локально конечного многообразия многообразие Ka не является локально конечным. Теорема доказана. Замечание 1.1. Ли в [3] показывает что ND - многообразие всех околодистрибутивных решеток не является локально конечным и замечает, что "в [5] включен пример собственного подмногообразия многообразия околодистрибутивных решеток ND , не являющегося локально конечным, хотя это явно не установлено". Так как по теореме 1.1[9]Ka Ì ND, то теорема 1.3 явно утверждает о существовании собственного конечно определяемого подмногообразия многообразия околодистрибутивных решеток ND, не являющегося локально конечным. Из теорем [2, 2.7.] и1.3 получаем следствие. Следствие 1.1. Многообразие Ka не порождается конечной решеткой. § 2. О последовательностях тождеств Найден ряд тождеств, определяющих многообразия со свойствами, аналогичными свойствам классов Ka и Kb . Рассмотрим следующую последовательность тождеств. Для этого введем обозначение: u=u0=a((b+ac)(c+ab)+(a+b)c+(a+c)b) , un+1=a(un+bc). Пусть K15n - многообразие, определяемое тождеством un=ab+ac. Соответственно Kan - многообразие, определяемое этим тождеством и ему двойственным, т. е. Kan = K15n Ç K15n d . Теорема 2.1. Справедливы следующие отношения между решетками и многообразиями: (i) для любых конечных m, n и для любого счетного w L6w Î Kam, á L6n ñ Ì Kam ; (ii) для любого конечного n Kan Í Kan-1 Í … Í Ka . Доказательство. (i). Непосредственная проверка равенств, определяющих классы Kan на соответствующих решетках показывает, что эти решетки ринадлежат введенным классам . (ii). Последовательность включений следует из закона об обратном отношении [3] и определения классов Kan и Ka . Теорема доказана.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.