ПРОБЛЕМНО СПЕЦИАЛИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Щукина Н.А.

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)


Номер: 12-1
Год: 2014
Страницы: 77-80
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

эффекты второго порядка, концентрация напряжений, нелинейная теория упругости, система автоматических вычислений, the second order effects, stress concentration, non-linear elasticity theory, system of automatic evaluations

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Данная работа посвящена созданию комплекса программ на базе пакета символьной математики Maple и предназначенной для автоматического получения символьных вычислений при решении задач о концентрации напряжений около отверстий.

Текст научной статьи

В работе описывается комплекс программ, созданный на базе пакета символьной математики Maple под условным названием «Концентрация напряжений около отверстий» и предназначенный для автоматизации символьных вычислений при решении задач о концентрации напряжений около отверстий. Применение компьютерных методов для автоматизации символьных вычислений в механике в нашей стране имеет довольно длительную историю. Ознакомиться с ней можно в [1]. В механике сплошных сред использование САВ (Система Аналитических Вычислений) началось с самых первых дней появления ЭВМ, как правило, с помощью САВ, разработанных самими механиками. От других специализированных САВ данная отличается сферой приложения, которой на данный момент является нелинейная теория упругости. Согласно современным представлениям, САВ могут использоваться на всех стадиях естественно-научного исследования. Имеются ввиду следующие стадии. 1. Выбор физической модели и формирование математической модели как задачи механики или математической физики. 2. Выбор вычислительного алгоритма для решения задачи. 3. Создание программы для реализации алгоритма. 4. Проведение расчетов и обработка полученной информации. 5. Анализ результатов, сравнение с экспериментом. Если нужно, пересмотр физической модели и повторение цикла. На настоящий момент предлагаемая САВ обслуживает первый этап. Физическая или механическая формулировка задачи и вывод уравнений движения (или равновесия) во многих случаях составляет непростую задачу для сложных механических систем, например, описываемых в рамках нелинейной теории упругости. Получаемые уравнения очень громоздки, а их вывод требует большого труда. Велика вероятность ошибок, и нередко чисто технические трудности становятся препятствием для рассмотрения более сложных и точных моделей явления. Это характерно и для общей механики. Символьные выкладки дают возможность автоматизировать вывод уравнений движения (равновесия). Для целой группы САВ и ППП (Пакет Прикладных Программ) построение уравнений движения (равновесия) сложных систем является одной из главных задач, иногда даже основной. Они входят в комбинированные символьночисленные программные системы с различным уровнем интеграции численных компонент и САВ, в составе САПР (Система Автоматизированного Проектирования). В качестве метода, реализующего символьные вычисления в созданной системе, применяется метод эффектов второго порядка. Для реализации алгоритма решения плоских нелинейных задач в рамках инженерной модели, описанной в [2], созданы символьные блоки, объединенные в библиотеку программ «Концентрация напряжений около отверстий». Символьные выкладки дают возможность автоматизировать вывод уравнений движения (равновесия). Конфигурация предлагаемой системы представлена в виде библиотек программ, подгружаемых в Maple пользователем. Структура интерфейса имеет вид рабочего листа Maple, что упрощает освоение библиотеки «Концентрация напряжений около отверстий» для механика, знакомого с Maple. Для правильной работы команд этой библиотеки необходимо подгрузить такие пакеты Maple как linalg, PDEtools, plots и powseries. Алгоритмы вычисления мер деформации и напряжений, уравнений равновесия изложены в [3]. Основная идея, положенная в основу создания специализированной библиотеки, повышающая ее практическую ценность, состоит в том, что она не вычисляет объекты по готовым формулам, полученным в рамках эффектов второго порядка, а начинает вычислять разложения этих объектов, начиная с разложения вектора перемещения, автоматически удовлетворяющего условию несжимаемости. Программа выдает результаты в компонентной форме в декартовой системе координат, которые уже для эффектов второго порядка очень громоздки, но именно по ним можно вычислять значения тех или иных величин, строить графики, находить экстремумы и т.д. Это лишний раз подчеркивает необходимость применения символьных блоков в нелинейной теории упругости. В нелинейной механике при больших деформациях приходится различать конфигурации тела до и после деформации. Радиус-векторы точек тела в этих конфигурациях обозначим через и соответственно. Первую конфигурацию обычно называют отсчетной, а вторую текущей. Для описания больших деформаций применяются две системы координат. Одна связана с точками пространства и неизменна. Координаты точек деформирующегося тела в ней меняются. Другая система связана с точками тела и деформируется вместе с ним так, что координаты точек тела в ней неизменны, но меняется базис. Рассматриваются, обычно, два базиса такой материальной системы координат. Один связан с отсчетной конфигурацией, другой связан с текущей конфигурацией. Поэтому различают два векторных дифференциальных набла-оператора. Один задан в базисе отсчетной конфигурации , другой задан в базисе текущей конфигурации . В разработанной системе пространственная система координат всегда декартова, а материальная может быть любой. Рассматривается краевая задача в напряжениях для плоской деформации , где и - радиус-векторы точек в плоскости, ортогональной оси OZ, в текущей и отсчетной конфигурациях соответственно, (X, Y) - декартовы координаты точек в плоскости XOY текущей конфигурации, а (x,y) - координаты тех же точек в отсчетной. Задача в нелинейной постановке для изотропного несжимаемого материала с функцией удельной потенциальной энергии деформации (потенциалом энергии деформации) рассматривается в виде [4] , где , , - константы, причем - модуль сдвига линейной теории, - главные инварианты меры деформации Коши, сводится к двум краевым задачам линейной теории упругости. Это позволяет использовать для их решения хорошо разработанные аналитические методы линейной теории, в частности, метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Эти задачи выделяются при ограничении разложений для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации и функции гидростатического давления членами разложения по малому параметру до второго порядка. В разработанной системе автоматических вычислений разложение радиус-вектора частиц в текущей конфигурации представляется в виде [4]: . (1) Поскольку свойством находиться в высокоэластичном состоянии, требующим для расчета средства нелинейной теории упругости, обладают резиноподобные материалы, а они ведут себя как несжимаемые, то разложение для радиус-вектора должно удовлетворять условию несжимаемости для эффектов первого и второго порядка. Для разложения (1) условие несжимаемости удовлетворяется тождественно для произвольных функций и , а условия интегрируемости уравнений равновесия в отсутствие массовых сил становятся бигармоническими , . Maple обладает пакетом powseries для работы с рядами, который позволяет проводить все алгебраические операции над ними в предположении их абсолютной сходимости. Этим рядам можно придать вид разложения по малому параметру и зафиксировать порядок представления результата этих операций относительно этого параметра, например, первый, второй или третий. Так можно моделировать эффекты первого, второго или третьего порядка. В созданной библиотеке программ эти операции распространены на тензоры до второго порядка включительно, компоненты которых являются рядами по малому параметру. Тензоры имеют тип Array. Получены процедуры для инвариантных дифференциальных операторов над такими тензорами и процедуры выделения коэффициентов в этих разложениях по малому параметру, которые являются тензорами нулевого, первого или второго ранга. Последние описывают эффекты первого, второго и третьего порядков соответственно. Для работы с дифференциальными уравнениями в частных производных использован пакет PDEtools. Среди процедур этого пакета есть процедура dchange, используемая для замены переменных в уравнениях. В созданной библиотеке эта процедура используется для перехода в выделенных эффектах к комплексным переменным и далее в конформных преобразованиях. С помощью процедур asympt и series вычисляются главные части комплексных потенциалов в окрестности полюсов и на бесконечности, необходимые для точного вычисления интегралов типа Коши. Все процедуры созданной библиотеки программ можно разделить на три группы. К первой группе относятся 16 процедур первого уровня, выполняющие унарные и бинарные операции над тензорами. Это самодостаточные процедуры, которые не обращаются к другим процедурам библиотеки. Команды данной группы перекликаются с командами пакета linalg, но прописаны заново для единообразия типа аргументов. Команды диадного произведения векторов и двойного скалярного произведения тензоров второго ранга являются новыми. Процедуры первого уровня носят вспомогательный характер и к ним непосредственно нет нужды обращаться для решения задач о концентрации напряжений около отверстий. Исключение составляет программа AppIC(n,f,s), используемая для численного вычисления интегралов типа Коши. Процедуры второго уровня тоже носят вспомогательный характер, но они ссылаются на процедуры первого уровня. Таких процедур 6, и они обеспечивают вычисление объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние тел таких как радиус-вектор в текущей конфигурации, тензор-градиент места , меры деформации Коши и Фингера и обратные к ним, тензоры напряжений Пиолы и Коши , составляются уравнения равновесия и условия их интегрируемости. Процедуры третьего уровня ссылаются на процедуры второго уровня и составляют проблемно-специализированную библиотеку символьных блоков «Концентрация напряжений на контуре отверстия». Обращения только к ним достаточно для получения аналитического решения задач как в линейном, так и в квадратичном (по малому параметру) приближении. Следует отметить жесткий порядок следования процедур, так как последующие используют результат действия предыдущих. Таких процедур 10. Для получения аналитического выражения коэффициента концентрации на контуре отверстия, свободного от нагрузок, необходимо ввести функцию, задающую конформное отображение контура на окружность единичного радиуса и граничные условия на бесконечно удаленной площадке, перпендикулярной осям и .

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.