ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКТИВНО-ОРТОТРОПНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ОТ НЕРАВНОМЕРНОЙ РАДИАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ Мочалин А.А.

Cаратовский социально - экономический институт Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова


Номер: 12-1
Год: 2014
Страницы: 16-21
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

цилиндрическая оболочка, устойчивость, радиальное критическое давление, толщина, анизотропия, cylindrical shell, theory of shells, stability of shells, radial loading, critical pressure, shell thickness, the theory of elasticity, anisotropic

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

На базе полубезмоментной теории В.З.Власова рассматривается задача об устойчивости цилиндрической конструктивно-ортотропной оболочки переменной вдоль образующей толщины при действии осесимметрично изменяющегося вдоль оси оболочки радиального давления. При одном соотношении изменения толщины и давления получено точное решение для нахождения одной из величин в законе изменения давления, при которой происходит потеря устойчивости оболочки.

Текст научной статьи

Исследования устойчивости изотропной оболочки от действия неравномерного давления, по-видимому, начинаются с работ Б.О. Элмроса [1] и В.И. Моссаковского [2]. Решение некоторых задач для неоднородных оболочек с переменной радиальной нагрузкой имеются в работах[3]. Но в них решались задачи отдельно от влияния переменности толщины оболочки и отдельно от действия переменной нагрузки. Рассмотрим задачу о получении зависимостей для расчета критического давления с учетом неоднородности анизотропных оболочек и нагрузок. При одном соотношении изменения толщины и давления получено точное решение для нахождения одной из величин в законе изменения давления, при которой происходит потеря устойчивости оболочки. Проводится сравнение результатов точного решения с приближенным решением по методу ВКБ. Анизотропные материалы, относящиеся к композиционным материалам, получили в настоящем времени широкое распространение в современной технике благодаря их ценным прочностным, упругим и другим свойствам. Такие материалы состоят из армирующих элементов высокой прочности и жесткости и из менее прочного и жесткого связующего, обеспечивающего монолитность композиции. Большое распространение получили стеклопластики, состоящие из пластмассы и, армированной очень тонкими стеклянными волокнами, нитями (прядями), или стеклотканями различного переплетения. Одни стеклопластики создаются путем контактного формирования при холодном отверждении связующего, другие - путем накатки стеклянных нитей, жгутов, лент и горячего прессования и с помощью других технологических процессов [4][5]. Сведения о стеклопластиках - о том, какие виды их применяются в технике, как они изготовляются, их марки и т. д. можно найти в справочнике [5], где подробно излагаются вопросы о прочностных и упругих свойствах стеклопластиков, о величинах характеризующих эти свойства и о методике определения прочностных и упругих характеристик. Армированный материал можно с некоторым приближением рассматривать как однородную и даже неоднородную [6] анизотропную упругую среду, обладающую, в зависимости от структуры армирования, тем или иным видом структурной симметрии, которая влечет за собой упругую симметрию. Одни стеклопластики можно рассматривать как ортотропные упругие среды (разумеется, лишь в тех пределах, в каких деформации под действием внешней нагрузки можно считать упругими); другие - как трансверсально - изотропные и даже как изотропные среды. В линейной теории цилиндрических оболочек широкое применение нашла полубезмоментная теория В.З.Власова [7], учитывающая особенности напряженного состояния оболочек, длина которых находится в пределах оболочки, - её длина. В основе этой теории лежат две гипотезы - статическая и геометрическая, позволяющие существенно упростить уравнения, описывающие состояние устойчивости оболочки. Считается, что удлинение в окружном направлении и углы сдвига в срединной поверхности равны нулю, полагаются равными нулю перерезывающая сила и изгибающий момент в осевом направлении, а также крутящий момент. Учитывая допущения теории В.З. Власова, уравнение совместности деформаций запишется в виде: 1. (1) а уравнения равновесия после несложных преобразований можно записать одним уравнением вида: (2) где x - координата, откладываемая по образующей, y- координата, откладываемая по дуге поперечного круга цилиндра. Соотношения упругости с учетом допущений полубезмоментной теории В.З.Власова запишутся в форме: , Здесь , - определяются из выражений [8]. Введем новые переменные , (l -длина оболочки) и функцию перемещений Φ соотношениями 2. (3) Подстановка последних соотношений в уравнение (1) оно тождественно удовлетворяется, а подставляя их в уравнение (2) приходим к следующему уравнению [9]: (4) Здесь а - дифференциальный оператор В.З. Власова. Уравнением (4) будем пользоваться при исследовании устойчивости цилиндрических оболочек средней и большой длины. Его следует интегрировать при граничных условиях, зависящих от способа закрепления торцов оболочки. Уравнение (4) в случае воздействия переменного осесимметричного внешнего давления, изменяющегося вдоль оси оболочки по закону , примет вид: (5) где λ , а - параметр, подлежащий определению. Уравнением (5) будем пользоваться при исследовании устойчивости цилиндрических оболочек средней и большой длины. Его следует интегрировать при граничных условиях, зависящих от способа закрепления торцов оболочки. Представляя функцию Φ(ξ) в виде Φ(ξ) = X(ξ) и подставляя её в уравнение (5), получим, применяя метод ВКБ [9], систему уравнений для определения функции X(ξ) и функции ψ(ξ). Решение уравнения (5) с асимптотической погрешностью порядка запишется в виде X(ξ)= . Удовлетворяя граничным условиям, получим систему уравнений для определения постоянных интегрирования (i=1, 2, 3, 4) , а равенство нулю ее определителя приводит е характеристическому уравнению. В общем случае переменности толщины оболочки и не постоянного действующего на неё давления величину следует разложить в ряд по малому параметру изменения толщины или нагрузки. Рассматриваются два способа закрепления краев оболочки, которым соответствуют следующие граничные условия [9]: или . в случае жесткого закрепления краёв и или . если края оболочки свободно оперты. Решения характеристического уравнения имеют вид: для жесткого закрепления и в случае свободного опирания краев, где . Если один край оперт, а другой свободен, то следует принять равным 3.93. В случае жесткой заделки края и свободного края, =1.875. При свободном опирании одного края и равенстве нулю перерезывающего усилия и продольного перемещения на другом, то = [10]. В случае, если φ(ξ) = а f(ξ) = имеем следующее соотношение =(1). (7) На основе (7) с учетом граничных условий получим выражения для критических значений давления в виде: для жесткой заделки краев, а K(α) = . В случае свободного опирания торцев будем иметь . (8) В случае выше перечисленных краевых задач, для определения критических значений давления, будем иметь формулу вида (8) в которой вместо множителя необходимо поставить величины: 3.93, 1.875 и Представим теперь точное решение уравнения (5) поставленной задачи устойчивости. Пусть оболочка находится под действием неравномерной радиальной нагрузки . Компонента нагрузки в этом случае задается выражением , где параметр подлежит определению. Выбирая функцию Φ в форме , где k - число волн вдоль окружности оболочки при потере устойчивости, и задавая закон изменения толщины в виде , приходим к уравнению: где . Это уравнение после введения новой переменной и новой функции W(z) соотношением может быть приведено к дифференциальному уравнению четвертого порядка с постоянными коэффициентами, которое записывается в форме: . Решение этого уравнения будем разыскивать в виде . Результат подстановки приводит к следующему характеристическому уравнению: , а величины определяются из следующих соотношений Их значения таковы: , . Выражение для функции X(ξ) примет вид: , где . Решение задачи проведем для двух видов граничных условий: жесткого закрепления и свободного опирания краёв оболочки. В случае жесткого закрепления краёв, граничные условия имеют вид [9] или . Если же края оболочки свободно оперты, то следует удовлетворять условиям вида или . Подчиняя общее решение уравнения граничным условиям, и требуя совместности системы однородных уравнений, получаем соотношения для определения собственных значений в форме: для жесткого закрепления и в случае свободного опирания краев. Для очень длинных оболочек имеем, независимо от способа закрепления краев, значение параметра в виде: . После минимизации по (, получаем формулу для вычисления критического давления , (9) где а величина в общем случае зависит от способа закрепления краёв и определяется довольно громоздким выражением. Формулу (8) можно переписать для жесткого закрепления краев в форме: , (10) , а для свободного опирания торцов соответственно в виде: , (11) Значения коэффициента К() для некоторых величин приведены в табл. 1 Таблица1 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 К() 0.750 0.798 0.847 0.888 0.950 1 1.049 1.093 1.136 1.173 1.200 Kz 0.749 0.782 0.844 0.883 0.990 1 1.047 1.068 1.129 1.162 1.195 Kc 0.716 0.774 0.837 0.881 0.949 1 1.047 1.065 1.129 1.155 1.192 Анализируя формулы (10) и (11) замечаем, что анизотропия влияет на величины критического давления посредством множителя . Для четырех материалов, с упругими характеристиками, приведенными в табл. 2 произведены расчеты величины Q ,значения которой приведены в табл. 3 Таблица 2 Материал Упругие постоянные E μ=ν n СВАМ 1.88 105 0.12 0.62 1 0.79 Изотропный 1.5 105 0.2 1 1 1 Стеклопластик 1 2.5 105 0.22 1.515 1 1.24 Стеклопластик П 3.37 105 0.2 2.25 1 1.5 Таблица 3 Величина Изотропный СВАМ Стеклопластик 1 Стеклопластик П Q 105 1.54 2.02 2.31 2.79 В общем случае для рассматриваемых краевых задач будем иметь формулу определения критических значений давления в виде , где величина заменяется величинами: 4.73, 3.93, 1.875 и а сомножитель выражением . На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы: 1. Значения критического давления неоднородной цилиндрической оболочки под действием неравномерного давления, изменяющегося по закону изменения жесткости, пропорциональны критическому давлению оболочки постоянной толщины с коэффициентом пропорциональности К(), и при увеличении отношения толщин на концах оболочки критическое давление уменьшается, а при его уменьшении критическое давление увеличивается. 2. Значения коэффициента К() полученные в результате точного решения отличаются от него в приближенном решении не более чем на 5%. 3. Величина критического давления для оболочки, изготовленной из конструктивно-ортотропного материала, возрастает при увеличении модуля Юнга.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.