ОБ ИСТОРИЧЕСКИХ АСПЕКТАХ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Гилев В.Д.

Дальневосточный федеральный университет


Номер: 2-2
Год: 2014
Страницы: 95-97
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

учитель математики, математический анализ , бесконечно малая, Лейбниц, нестандартный анализ, teacher of Mathematics, mathematical analysis, infinitesimal, Leibniz, nonstandard analysis

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассматривается один из путей изложения раздела «Дифференциальное и интегральное исчисление» дисциплины «Математический анализ» для подготовки учителя математики в связи с переходом на Федеральный образовательный стандарт нового поколения. Главное внимание уделяется историческим аспектам возникновения основных понятий математического анализа, предложенных Лейбницем, и их современное переосмысление.

Текст научной статьи

В связи с переходом на Федеральный государственный образовательный стандарт нового поколения возникли проблемы подхода к изучению тем по дисциплинам математического цикла при подготовке учителей математики. Одной из таких дисциплин является математический анализ, он предназначен для студентов, обучающихся по специальности 050100.62 - «Математика». Математический анализ представляет собой фундамент математического образования в высшей школе и является вводным курсом для таких дисциплин дальнейшего математического образования как теория функций действительного и комплексного переменного, функциональный анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика. Важной задачей является нахождение эффективной методики преподавания математического анализа, способной обеспечить усвоение студентами теоретического материала и овладение ими методами решения соответствующих задач. Понятие предела функции в точке является одним из важнейших понятий математического анализа, на нем основаны понятия непрерывной функции, производной, интеграла. Поэтому важность усвоения студентами этого понятия трудно переоценить. В педвузах студенты достаточно подробно изучают математический анализ на основе понятия предела. Это понятие является наиболее трудным в курсе математического анализа, и от качества его восприятия зависит успешность усвоения всего курса. Опыт преподавания показал, что лекционного знакомства с этим определением явно недостаточно для его понимания ввиду сложности и необычности этого определения как цепочки предикатов. В лучшем случае студенты пытаются вспомнить и воспроизвести последовательность символов и кванторов логики. Отрицательную роль здесь играет и употребление в обыденной жизни таких слов как «предел», «стремится», «приближаться». При этом остается в стороне то, что понятие предела появилось в математике гораздо позже дифференциального и интегрального исчисления, открытого в XVII веке Ньютоном и Лейбницем. Открытие Ньютона и Лейбница заключалось в том, что они на основе понятия бесконечно малой величины создали простые алгоритмы, позволяющие единым приемом решать разнообразные задачи. Но ни Лейбниц, ни его последователи не смогли дать обоснование своим методам, и они, казалось, были безнадежно забыты. В своих исследованиях Лейбниц опирался на такое возникшее в математике и хорошо согласующееся с интуицией понятие бесконечно малой как «числа», модуль которого меньше любого положительного действительного числа. Под бесконечно малыми Лейбниц понимал постоянные величины особого рода. Суть идеи Лейбница заключалась в предположении, что систему действительных чисел можно так расширить добавлением бесконечно малых и бесконечно больших величин, что полученное расширение сохраняет свойства обычных чисел. На основе такого подхода к исчислению были разработаны универсальные и простые алгоритмы с удобной символикой, которые нашли широкое применение в практических приложениях исчисления [5,99]. Такой простой и вместе с тем эффективный подход Лейбница к исчислению послужил причиной быстрого расцвета исчисления. Но Лейбниц и его последователи мало интересовались логическими основами исчисления, при этом их теория подвергалась критике за неясность основных понятий и противоречивость алгоритма исчисления. С повышением уровня строгости в математике обоснование исчисления стало самой неотложной проблемой. Однако до XIX века ни Ньютон, ни Лейбниц, ни Даламбер, ни их последователи не смогли решить эту проблему. Главная причина здесь заключалась в том, что к тому времени ни исчисление, ни сама математика не достигла достаточной строгости и однозначности в фундаментальных определениях. В итоге в XIX веке идея Лейбница была заменена понятием предела переменной величины. В 1821 году О. Коши дал строгое логическое обоснование исчисления с помощью понятия предела и системы действительных чисел. Именно с этого времени фундаментальные понятия анализа стали излагаться на языке «ε - δ», а бесконечно малые из «очень маленьких чисел» (как их мыслили создатели исчисления) превратились в функции, стремящиеся к нулю. Что касается метода Лейбница, то, несмотря на значительное внимание к нему многих выдающихся математиков, он так и не получил в то время своего обоснования и, казалось, был безнадежно забыт. К началу XX века математики считали принципиально невозможным обоснование актуальных бесконечно малых и больших величин. Актуальные бесконечные величины в математике были запрещены как некорректные, а понятие предела было объявлено единственным инструментом строгого обоснования анализа. Следует отметить, что актуальные бесконечно большие и бесконечно малые величины использовались в то время в физике и других разделах естествознания, несмотря на математические запреты. «Упрощённый взгляд на математику, основанный на эпсилон-дельтизме, изгнал идею актуальной бесконечности. Тем самым математика была обеднена, оторвана от своей истории и противопоставлена практике естествознания» [1, 23]. Однако в 60-х годах прошлого столетия ситуация принципиально изменилась: бурное развитие теории множеств и математической логики, вызванное стремлением достичь абсолютной строгости в математике, повлекло за собой создание теории моделей, методами которой А. Робинсон [4] решил трехсотлетнюю проблему Лейбница - обоснование исчисления с помощью бесконечно малых. Началом нестандартного анализа можно считать появление символов бесконечно малых dx и dy в трактате Лейбница «Новый метод» [3, 166]. Классический или стандартный анализ О. Коши базируется на понятии бесконечно малой как переменной величины, т.е. стремящейся к нулю функции, в то время как нестандартный анализ А. Робинсона, следуя Лейбницу, трактует это понятие как постоянную достаточно малую величину. При таком подходе представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых не противоречат современным математическим воззрениям. Модель математического анализа, предложенная А. Робинсоном, интенсивно развивается в настоящее время. Она отличается математической простотой и широтой приложений, при этом, как отмечает М. Девис курс математического анализа стал «более живым и увлекательным как для преподавателей, так и для студентов» [2,21]. К. Гёдель писал в 1973 году: «Есть веские основания считать, что нестандартный анализ, в той или иной форме, станет анализом будущего» [ 1, 19]. Цель спецкурса «Нестандартные модели анализа» - помочь студентам специальности 050100.62 «Математика» разобраться в нестандартном изложении таких фундаментальных вопросов математического анализа как теория действительных чисел, дифференциальное и интегральное исчисление. Изложение материала начинается с самых элементарных вопросов и не предполагает специальных знаний. Структура спецкурса следующая: введение и три части. Во введении в наиболее простой форме приводятся основные принципы нестандартного анализа, знание доказательств этих принципов при последующем изложении не предполагается. В первой части «Гипердействительные числа» излагаются основные понятия нестандартного анализа. Здесь приводится расширение множества R до множества *R, элементы этого множества называют гипердействительными числами. В нем аксиома Архимеда не выполняется, и существуют бесконечно малые числа - такие, что сколько их не складывай с собой, сумма будет все время оставаться меньше единицы [5, 12]. Множество гипердействительных чисел *R должно быть неархимедовым упорядоченным полем, являющимся расширением упорядоченного поля действительных чисел R [5,16], причем в этом поле имеются бесконечно большие элементы. Нестандартный анализ изучает множество гипердействительных чисел *R. Полученные при этом результаты используются для исследования свойств R. Таким образом можно получить «нестандартные» доказательства свойств множества действительных чисел R. При этом в построении новых (иррациональных) чисел главную роль играют не операции предельного перехода (как в классическом изложении), а простые алгебраические методы и принципы математического анализа. Во второй части «Дифференциальное исчисление» разбирается нестандартное изложение дифференциального исчисление функции действительной переменной в духе Лейбница. Здесь на основе построенной системы гипердействительных чисел *R и в соответствии с принятой в классическом анализе последовательностью излагается теория пределов, доказываются свойства непрерывных функций, вводятся основные понятия дифференциального исчисления. При этом за основу берется не понятие предела по Коши, а простые алгебраические методы и принципы нестандартного анализа. Наиболее ярко преимущество нестандартного определения предела проявляется при изучении непрерывных и дифференцируемых функций. Так, принципиальный результат анализа - теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции - получается сразу из нестандартного определения непрерывной на отрезке функции [5, 53]. В третьей части «Интегральное исчисление» разбирается нестандартная теория определенного интеграла: здесь вводится понятие интеграла для определенных на отрезке [a;b] функций действительной переменной посредством применения методов нестандартного анализа к интегралу от ступенчатых функций действительной переменной, доказывается интегрируемость непрерывных функций и проверяются основные свойства интеграла. Проведение данного спецкурса, несомненно, повысит математическую культуру будущего учителя математики. Таким образом, приведение в курсе математического анализа исторических примеров будет способствовать правильному представлению о математической науке у будущих учителей математики.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.