ПРОСТРАНСТВО МОДЕЛЕЙ ГРАДИЕНТНЫХ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ. ПОДПРОСТРАНСТВО ТУПИНА Белов П.А.

МГТУ им. Н.Э.Баумана


Номер: 4-1
Год: 2014
Страницы: 11-15
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

градиентные теории упругости, градиентные теории адгезии, механика дефектных сред, поля сохраняющихся дислокаций, наномеханика, когезионные взаимодействия, адгезионные взаимодействия, неклассические упругие характеристики, gradient theories of elasticity, gradient theories of adhesion, the mechanic of defective continuums, fields of conserved dislocations, nanomechanics, cohesive interactions, adhesive interactions, nonclassical elastic characteristics

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В работе развивается теория сред с полями сохраняющихся дислокаций. Ранее построен и исследован ортогональный базис тензоров «моментных» модулей в пространстве тензоров шестого ранга. На его основе предложено пятнадцатимерное пространство градиентных моделей. Каждое измерение пространства моделей определяется существованием «моментного» модуля и соответствующим базисным тензором шестого ранга, а координата в этом измерении - величиной этого модуля. Подпространство Тупина является его пятимерным подпространством. Показано, что только два из пяти базисных тензора этого подпространства определяют слагаемые квадратичной положительно определенной формы потенциальной энергии кривизн. Остальные три базисных тензора, наоборот, определяют слагаемые не положительно определенной части потенциальной энергии градиентной теории адгезии.

Текст научной статьи

ВВЕДЕНИЕ В данной статье развивается теория сред с полями сохраняющихся дислокаций. Исследуется обобщение модели Миндлина, построенное в работе [1]. В отличие от «классических» моделей Миндлина [2] и Тупина [3], их обобщение одновременно учитывает в объемной плотности потенциальной энергии и кривизны , связанные с градиентом стесненной дисторсии, обладающей свойством , и кривизны , связанные с градиентом свободной дисторсии, обладающей свойством , и энергию перекрестных взаимодействий кривизн двух указанных выше сортов: (1) Как видно из определения стесненной дисторсии, она является совместной, т.е. по ней может быть восстановлено непрерывное поле перемещений. В противоположность стесненной, свободная дисторсия является несовместной, её нельзя представить как градиент векторного потенциала. Свойства совместности/несовместности позволили ввести понятие «сорта» кинематических переменных, отраженных в верхних индексах кинематических переменных [4]. Соответственно, и упругие свойства приобрели верхние индексы (индексы сортности) [5]. В частности, тензор Тупина определяет плотность потенциальной энергии кривизн первого сорта (градиентов стесненных дисторсий). Тензор Миндлина определяет плотность потенциальной энергии кривизн второго сорта (градиентов свободных дисторсий). Для всех тензоров модулей шестого ранга (для тензора Тупина , тензора Миндлина и тензоров перекрестных взаимодействий и ) построен единый ортогональный базис [6], позволяющий установить на его основе иерархию существующих градиентных теорий упругости. Цель статьи - исследовать структуру и свойства подпространства моделей Тупина. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ТУПИНА Лагранжиан теории Тупина: (2) Тензор классических модулей: «Классический» тензор Тупина: (3) Базисные тензоры, фигурирующие в круглых скобках соотношения (3), определяют наиболее общий вид тензора модулей бездефектных, обратимых градиентных теорий, принадлежащих подпространству Тупина [3]. В частности, к этому подпространству принадлежат теории Джеремилло [7], Аэро-Кувшинского [8], «простейшая» теория когезионного поля [9]. Лагранжиан теории Джеремилло: (4) Тензор Джеремилло: (5) Тензор Джеремилло обладает специфическими свойствами и , благодаря которым потенциальную энергию кривизн можно записать только относительно градиентов тензора деформаций : Лагранжиан теории Аэро-Кувшинского: (6) Тензор Аэро-Кувшинского: (7) Тензор Аэро-Кувшинского обладает специфическими свойствами и , благодаря которым потенциальную энергию кривизн можно записать только относительно градиентов тензора поворотов или псевдовектора поворотов : Лагранжиан «простейшей» теории когезионного поля: (8) Тензор моментных модулей «простейшей» теории когезионного поля: (9) Тензор моментных модулей «простейшей» теории когезионного поля выражается через единственный неклассический параметр , размерностью [Па/м2], благодаря чему потенциальную энергию кривизн можно записать относительно дивергенции напряжений : Вернемся к теории Тупина и запишем выражение потенциальной энергии кривизн в развернутом виде: (10) Её можно представить в виде суммы канонической положительно определенной квадратичной формы и дивергентного слагаемого: (11) Здесь введены иные механические характеристики среды Тупина соотношениями: (12) Не трудно убедиться в том, что дивергентное слагаемое, используя теорему Остроградского-Гаусса, всегда можно представить как каноническую квадратичную не положительно определенную форму линейных комбинаций первых и вторых производных от перемещений на поверхности тела: (13) (14) (15) Таким образом, достаточным условием положительной определенности потенциальной энергии является равенство нулю модулей, входящих в выражение дивергентного слагаемого, отсюда: (16) Как следствие, тензор Тупина приобретает более простой, чем (3) вид. Вместо пяти, он содержит всего два неклассических параметра и . Они являются характерными длинами когезионных взаимодействий, соответственно для потенциальной и вихревой составляющих поля перемещений: (17) Назовем уточненным тензором Джеремилло, частный случай уточненного тензора Тупина (17), обладающий тем свойством, что позволяет записать потенциальную энергию кривизн исключительно в терминах градиентов тензора деформаций: (18) Как видно из (18), структура уточненного тензора Джеремилло является иной по сравнению с его традиционной формулировкой (5). Следует обратить внимание на то, что и количество физических параметров, требующих экспериментального определения, снизилось с двух до одного. Этот параметр имеет физический смысл характерной длины когезионных взаимодействий для потенциальных полей перемещений. Назовем уточненным тензором Аэро-Кувшинского, частный случай уточненного тензора Тупина (17), обладающий тем свойством, что позволяет записать потенциальную энергию кривизн исключительно в терминах градиентов псевдовектора поворотов: (19) Как видно из (19), структура уточненного тензора Аэро-Кувшинского является иной по сравнению с его традиционной формулировкой (7). Следует обратить внимание на то, что и количество физических параметров, требующих экспериментального определения, снизилось с двух до одного. Этот параметр имеет физический смысл характерной длины когезионных взаимодействий для вихревых полей перемещений. Назовем уточненным тензором модулей «простейшей» теории когезионного поля, частный случай уточненного тензора Тупина (17), обладающий тем свойством, что, приводит к уравнениям равновесия в форме произведения тензорного оператора Ламе (оператора классических уравнений равновесия) и скалярного оператора Гельмгольца: (20) Как видно из (20), структура уточненного тензора модулей «простейшей» теории когезионного поля является иной по сравнению с его традиционной формулировкой (9). Следует, однако, обратить внимание на то, что и количество неклассических физических параметров осталось прежним. Этот параметр имеет физический смысл характерной длины когезионных взаимодействий, одинаковой как для потенциальных, так и для вихревых полей перемещений . ЗАКЛЮЧЕНИЕ В соответствии с (17), (18), (19) и (20), известные формулировки теории Тупина и её частных случаев обладают общим недостатком/достоинством, обнаруженном данным исследованием. А именно: теории, объединенные в подпространство Тупина, могут содержать такие физические параметры, которые приводят потенциальную энергию к виду не положительно определенной канонической квадратичной формы. Как следствие, теории, принадлежащие подпространству Тупина, могут давать не единственное решение. Исследование таких альтернатив представляет самостоятельную ценность. В рамках подпространства Тупина предложен «упрощенный» тензор модулей с двумя неклассическими параметрами , который обеспечивает единственность решения как в рамках теории Тупина, так и её частных случаев.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.