СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В МНОГОМЕРНЫХ ПОЛНЫХ ПОЛЯХ Мадунц А.И.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет


Номер: 8-1
Год: 2014
Страницы: 14-17
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

теория чисел, многомерные полные поля, топология, theory of numbers, multidimensional complete fields, topology

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье исследуются последовательности в многомерных полных полях и формулируются в терминах нормирований критерии сходимости таких последовательностей.

Текст научной статьи

Теория многомерных локальных и полных полей стала активно развиваться с начала семидесятых годов прошлого века (см. [ 1 ], [ 4 ]) и широко используется в алгебраической геометрии. Кроме того, большой класс дискретно нормированных полей может быть «приближен» многомерными локальными и полными полями, что делает эти поля хорошим инструментом для исследования различных видов дискретно нормированных полей. Понятие многомерного полного поля обобщает понятие многомерного локального поля, поэтому утверждения, верные для полных полей, легко переносятся на локальные. Топология, введенная на многомерных локальных и полных полях, отличается от обычной топологии дискретного нормирования и учитывает топологии полей вычетов (см. [ 2 ]). Проверка сходимости последовательностей и рядов в этой топологии оказывается существенной для решения ряда задач. Однако даже в одномерном случае вопрос сходимости достаточно сложен (см. [ 3 ]). По определению, n-мерное полное поле представляет собой поле, полное относительно дискретного нормирования, поле вычетов которого -- (n-1)-мерное полное поле. При этом под 0-мерным полным полем подразумевается произвольное совершенное поле. Иными словами, структура n-мерного полного поля на -- это цепочка полей , где -- полное дискретно нормированное поле с полем вычетов -- совершенное поле. Определение локального поля отличается лишь тем, что 0-мерное локальное поле - это произвольное конечное поле. Говорят, что многомерное полное полеравнохарактеристическое, если его характеристика совпадает с характеристикой его последнего поля вычетов, и разнохарактеристическое, если это не так. В равнохарактеристическом случае, где - совершенное поле (здесь под подразумевается поле формальных степенных рядов Лорана над ). Пусть -- некоторое поле с топологией, для которой выполнена первая аксиома отделимости. Поле, как известно, является дискретно нормированным, причем нормирование на нем задается формулой , если . Введем на топологию следующим образом: в качестве базы окрестностей нуля возьмем множество всех подгрупп вида , где -- открытые подгруппы поля , причем при достаточно больших . Тогда верно следующее утверждение. Критерий бесконечно малой. Последовательность элементов поля сходится к нулю в том и только в том случае, когда выполнены условия: 1. 2. для любого имеем в топологии поля. Из данной теоремы выводится сформулированный ниже критерий сходимости последовательности в поле (то есть, в общем случае равнохарактеристического n-мерного полного поля). Пусть имеется последовательность элементов поля . Тогда следующая совокупность условий является необходимой и достаточной для сходимости к нулю: 1. , 2. для любого при всех имеем 3. при всех имеем (здесь для любого элемент поля формально задан как причем -- нормирование соответствующего поля вычетов). Теперь перейдем к случаю , где -- полное дискретно нормированное поле. Напомним, что если -- произвольное полное поле с дискретным нормированием , то для поля нормирование вводится следующим образом: . Тогда -- дискретное нормирование на , и превращается в полное поле с полем вычетов . Значит, если -- (n-1)-мерное полное поле, то является n-мерным полным полем. Топология задается рекуррентно. А именно, для поля , где на поле определена топология, база окрестностей нуля есть множество всех подгрупп вида , где -- открытые подгруппы в и 1. существует такое, что для любого имеет место , 2. любое лежит в при , где . Множество мультииндексов называется допустимым набором, если для любого фиксированного множества целых чисел в множестве мультииндексов из , для которых индексы совпадают с индексами соответственно, индекс ограничен снизу. Сформулируем критерий сходимости последовательности к нулю для случая поля . Пусть имеется последовательность элементов поля , причем элемент поля формально задан как . Тогда следующая совокупность условий является необходимой и достаточной для сходимости к нулю: 1., 2. для любого допустимого набора мультииндексов из имеем . И, наконец, перейдем к общему случаю. Теперь - произвольное многомерное полное поле. С учетом структурной теоремы для многомерных полных полей (см. [ 2 ]) считаем, что его топология индуцирована топологией некоторого стандартного многомерного полного поля . Введем понятия псевдонормирований -- некоторых функций элемента поля, обладающих свойствами, схожими со свойствами нормирований. Определяются посевдонормирования так: . Теперь фиксируем . Тогда существует такое, что при всех имеем . Наибольшее из обозначим . Итак, . Аналогично для при всех видим, что для верно . Обозначая наибольшее из возможных значений через , получаем, что любой элемент поля может быть представлен следующим образом: (здесь под подразумевается униформизующая поля ). Именно в терминах псевдонормирований формулируется теорема о сходимости последовательности к нулю в общем случае. Итак, имеется последовательность элементов поля . Следующая совокупность условий является необходимой и достаточной для сходимости к нулю: 1., 2. для любого при всех имеем , 3. при всех имеем

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.