СИНТЕЗ ОПЕРАТОРА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСПЕРСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ В ВОДНОЙ СРЕДЕ ПРИ МАГНИТНОЙ КОАГУЛЯЦИИ Меньшов Е.Н.

Ульяновский государственный технический университет


Номер: 8-1
Год: 2014
Страницы: 39-46
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

вероятность распределения, дискретные отсчеты, свертка, probability distribution of discrete samples, convolution

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Обосновывается методология решения решение задачи в общем виде. В качестве оператора преобразования дисперсного распределения ферромагнитных частиц при стохастическом процессе магнитной коагуляции обосновывается свертка исходной функций распределения частиц с весовой характеристикой «преобразователя». Разработана процедура синтеза этой характеристики, которая реализована на частном примере. Адекватность математической модели подтверждается опытными данными.

Текст научной статьи

В технологии непрерывной очистки водно-технологических жидкостей (ВТЖ), основанной на принципе осаждения ферромагнитных примесей, применяется предварительная обработка суспензии однородным магнитным полем, которая приводит к увеличению крупности твердой фазы. Экспериментальные исследования показывают, что в процессе магнитной коагуляции изменяется дисперсный состав частиц примеси [1]. В задачах проектирования и оптимизации сепараторов ВТЖ актуальна задача расчета изменения распределений дисперсного состава за счет магнитной коагуляции. Из [2], следует, что в такой постановке задача математического моделирования магнитной коагуляции до настоящего времени не ставилась. При этом традиционная теория коагуляции, базирующаяся на неявных интегро-дифференциальных уравнениях Смолуховского [3], при произвольных начальных распределениях дисперсной фазы в дисперсной среде в общем виде нерешена, так как в каждом частном случае требует специальных математических исследований и индивидуальных алгоритмов. Настоящая работа посвящена разработке простой, эффективной математической модели преобразования исходного распределения ферромагнитных частиц по размерам при магнитной коагуляции. 1. Обоснование вероятностно-детерминированного подхода математического моделирования процесса магнитной коагуляции В случае, когда функции распределения дисперсионного состава примеси до коагуляции известны, поэтому они приобретают статус входных детерминированных функций , ( - обобщенные координаты). Тогда чисто математически задача расчета дисперсионного состава примеси после коагуляции сводится к определению выходных функций ). Пусть стохастический процесс коагуляции характеризуется некоторой функцией вероятности . Тогда связь функций , и можно оценить корреляционным соотношением [4] . (1) Важным специальным классом случайных процессов, часто встречающихся в приложениях теории вероятности к различным разделам естествознания и техники, является стационарный случайный процесс. Под стационарным случайным процессом понимается такой процесс, когда все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени, т.е. все его распределения вероятностей инвариантны относительно сдвига по времени. В обобщенном смысле для стационарного процесса взаимная корреляционная функция выражается следующим образом [5] . (2) В теории динамических систем определение связи между входной функцией и выходной относится к математической модели типа «вход-выход» [6]. Связь между входными воздействиями и выходными откликами для линейных стационарных детерминированных систем, описывается сверткой функций и . (3) В [5] обосновывается преемственность корреляционного выражения (2) и свертки (3). Для реальных систем всегда выполняется условие при . Так как существует только при отрицательных значениях , она является зеркальным отображением функции . Вводим следующее обозначение для зеркальной функции . Тогда подставляя в (3), имеем . (4) Если в интегралах (4) и (3) положить следующее равенство , тогда эти интегралы будут эквивалентны относительно отклика при одном и том же воздействии . Это говорит о том, что при условии стационарности стохастического процесса и детерминированности (в смысле математического объекта) функции отклик его можно выражать сверткой (3). Общий вывод. Преобразование дисперсного распределения твердых примесей при стационарном стохастическом процессе коагуляции в линейном приближении адекватно отклику линейной стационарной эквивалентной детерминированной системы с весовой функцией . В теории линейных стационарных систем разработан аппарат синтеза весовой функции [6]. В качестве оператора преобразования функций распределения примесей в дисперсионной среде можно использовать свертку (3). При этом для реализации весовой функцией достаточно смоделировать вероятность магнитной коагуляции для некоторого частного случая исходного распределения феррочастиц. 2. Синтез импульсной функции процесса коагуляции Воспользуемся вероятностью распределения частиц по массам при магнитной коагуляции в дискретной форме , определенной в [2] для случая равновероятностного исходного распределения ферромагнитных частиц (, где линейная концентрация частиц вдоль магнитной линии. Здесь: при , ; ; при , , , где смещенный единичный отсчет [7]. Аналогом интеграла наложения (3) является дискретная свертка [7] , (5) где - плотность вероятности исходного распределения примеси; - плотность вероятности бинарных агрегатов; - дискретная характеристическая функция одного акта процесса коагуляции, которая определяется как отклик на единичный отсчет. Функции дискретных аргументов запишем в форме дискретных рядов с учетом свойств , при следующим образом: , , (6) . (7) С учетом (6)-(7) дискретная свертка функций реальных процессов будет . Представляя вероятности соответствующих распределений , , (8) переходим к дискретной свертке относительно вероятностей . (9) Применяя z-преобразование [8] к свертке (9), переходим к выражению, устанавливающему связь между изображениями соответствующих дискретных функций , где -передаточная функция, которая с учетом (6) будет . (10) При этом - комплексная переменная, - оператор Лапласа, , - -изображения функций (6), представляющих собой бесконечный односторонний ряд Лорана по степеням . Подставляя в (8) условия тестового опыта (при ) и (при , -изображение принимает вид . Аналогично, учитывая соответствующие нулевые значения ( при ) переходим к следующему виду -изображение . Подставляя скорректированные -изображения , в (10) и вычисляя по формуле (31) из [2], будем иметь . (11). Выполняя процедуру деления полинома числителя на полином знаменателя в (11), получаем . . Подставляя значения по формулам (32)-(33) из [2], вычисляем . . (12) Переводим z-изображение (12) в оригинал [7-8], получаем дискретную системную функцию одного акта процесса коагуляции . (13) В частности, для (14) Вероятность акта коагуляции по формулам свертки (9), (13) для и для произвольного закона распределении вероятности примет вид . (15) В табл. 1 развернута формула (9) с учетом (14) для случая Таблица 1 Распределение вероятностей в общем случае для k,n 0 0 0 1 0 2 0 3 4 5 6 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 Из табл. 1 следует очевидное совпадение расчетной вероятности распределения примесей методом наложения (14) с начальной формулой [2]. Если распределение исходной вероятности неравномерное, но симметричное (, тогда максимальная погрешность методом наложения равна . (16) Значение погрешности (16) уменьшается с уменьшением . Наибольшая погрешность наблюдается в случае, когда распределение исходной вероятности несимметрично. Если в качестве примера сильной асимметрии распределения вероятности применить экспоненциальный закон , где - единичная ступенчатая функция Хевисайда, тогда максимальная погрешность метода наложения будет . (17) В силу того что должно выполняться условие нормировки , число уменьшается с увеличением , поэтому значение погрешности тоже уменьшается. Таким образом, в линейном приближении процесса коагуляции синтезирована дискретная импульсная функция (отклик на единичный отсчет) одного акта процесса коагуляции. Данная характеристика зависит от числа исходных частиц . С позиции алгоритма преобразования (рис. 2) число исходных частиц не является собственной характеристикой входного воздействия, а является собственным параметром системы (распределенной системы), поэтому не нарушается принцип суперпозиции, на котором основана формула свертки (9). При больших и малых погрешность вычисления вероятности коагуляции методом свертки мала, значит использование оператора в форме свертки оправдано. 3. Оператор магнитной коагуляции для непрерывных функций распределения дисперсности механической примеси Замена непрерывных функций совокупностью выборок основана на теореме отсчетов, доказанной В.А. Котельниковым [9]. В соответствии с этой теоремой непрерывный сигнал , ограниченный по спектру наивысшей частотой ( интервал между отсчетами времени) представляется . (18) Такой ряд используем для восстановления непрерывной импульсной функции . В [5] на основе представления непрерывных функций рядом (18) проведено преобразование непрерывной свертки, например, (3) в её дискретный эквивалент, который для переменных магнитной коагуляции примет вид . (19) Сопоставляя (19) с (9), приходим к формуле . (20) Представляя (20) в форме ряда (18), получаем непрерывную импульсную функцию . (21) Подставляя (13) в (21) и учитывая свойства функций и диапазон изменения , в котором применима функция , переходим к рабочей формуле . (22) Дискретная импульсная функция (13) выражает зависимость от массы. Массе дискретной частицы неотъемлемо соответствует определенный размер, например, эффективный диаметр . Так как функция по структуре является алгебраической суммой безразмерных дискретных единичных отсчетов по массам, то формально их можно заменить на эквивалентные единичные отсчеты по размерам. При этом (13) примет вид , (23) где - текущий эффективный диаметр феррочастицы (агрегата), интервал между двумя отсчетами (принимая форму частицы механических примесей сферической). Формула (23) будет являться откликом на единичный отсчет . Дискретной импульсной функции (23) по аналогии с (21)-(22) будет соответствовать непрерывная импульсная функция . (24) Подставляя (22) и (24) в (3), получаем для соответствующих непрерывных функций операторы магнитной коагуляции , . (25) Для применения (25) требуется определить параметры дискретизации функций , . (26) Число для дискретного распределения примесей имеет прямой физический смысл, для непрерывного распределения становится условным показателем числа отсчетов (выборок) непрерывной функции, расположенных через интервал (или ) независимой переменной. Выше отмечалось, что число отсчетов связано с погрешность расчета на основе принципа наложения. Для снижения значения этой погрешности необходимо задавать . Параметры , есть некоторые максимальные, эффективные значения аргументов, которые совместно с интервалами выборок (или необходимо определять из системы алгебраических уравнений (26), (22), (25) и из уравнения инвариантности результирующей массы примеси, выведенного в нашей работе [2], , (27) где - массовой концентрации, - количественная концентрация частиц примеси. Подставляя (22) в (25), вычислим плотность вероятности . . . (28) Здесь: ; ; ; ; ; . Функция при , поэтому верхние пределы интегралов (28) можно ограничить значением . Нижний предел интегрирования при выполнении условия ; - предел при выполнении условия . С учетом разделения нижнего предела интегрирования . . (29) В интеграле (29) подынтегральная функция изменяется в пределах от до . При малом значении функция изменяется незначительно, поэтому было выбрано среднее значение вариации этой функции. Аналогично имеем . (30) При ; и соответственно ; и при пределах изменения переменных интегрирования будем иметь отрицательные значения ; . Тогда в этих пределах . Таким образом, значения интегралов (29), (30) являются значениями этих же интегралов во всей области изменения пределов интегрирования (,) и (,) соответственно. Подставляя (29), (30) в (28) будет . (31) При больших вторым слагаемым в (31) можно пренебречь. Далее вычисляем среднее значение массы с учетом . . и далее . , (32) где , . При вычислении интегралов в (32) учитывалось условие , тогда при ; . . (33) Так как значению массы частицы будет соответствовать эквивалентный диаметр сферообразной частицы по формуле , где - объемная плотность массы исходных частиц примеси, тогда из (26) и (33) следует . (34) При заданном значении степени коагуляции по формуле (34) вычисляется интервал D и далее при известной математической модели исходного дисперсного распределения твердой примеси по выражениям (24)-(25) определяется плотность вероятности дисперсного распределения примеси магнитной коагуляции. На рис. представлены расчетные зависимости распределения дисперсного состава примесей в водной среде при магнитной коагуляции, которые сопоставлялись с экспериментальными данными, полученными в [1]. а б в Рис. Экспериментальные и теоретические зависимости гранулометрического состава водной суспензии: а, б, в - соответственно для проб: №1; №3; №5. Напряженность магнитного поля H=4·104 А/м. Концентрация твердой примеси С = 2г/л ( ферромагнитная компонента - сталь ШХ15 составляла 90% ). Экспериментальные: . . . - исходные; O O O - обработанные в магнитном поле. Теоретические: -- исходные (аппроксимированные логарифмически нормальным законом); - - - вычисленные по математической модели Для приготовления суспензий использовались классифицированные порошки шлифовальных шламов из стали ШХ15 с различным дисперсным составом. Соответственно средний диаметр и среднеквадратическое отклонение в мкм экспериментальных проб следующие: 1- 16.8 и 15.6; 3- 16.8 и 9.8; 5- 24 и 11,8. Исходные распределения аппроксимировались логарифметически нормальным законом. При этом средний диаметр и среднеквадратическое отклонение в мкм для соответствующих графиков по рис. следующие: №1- 12 и 9; №3- 20 и 16; №5- 35 и 28. Примечание: на рис. эквивалентный диаметр сфероподобной(ого) частицы (агрегата) изображается символом . На рис.,б-в имеют место удовлетворительные количественные совпадения коагуляционных теоретических кривых с опытными данными. Количественные отличия коагуляционных кривых на рис.,а обусловлены в первую очередь тем, что аппроксимационные параметры исходных распределений отличаются от опытных. Таким образом, разработанная математическая модель магнитной коагуляции адекватно моделирует коагуляционные распределения дисперсности ферромагнитной примеси. Заключение 1. Предложен и обоснован вероятностно-детерминированный подход математического моделирования стохастического процесса магнитной коагуляции. Он заключается в том, что при известных функциях начального распределения дисперсности механических примесей в слабозагрязненных водных потоках процесс коагуляции приводит к преобразованию функций распределения частиц (агрегатов). В качестве оператора преобразования обосновывается свертка исходных функций распределения частиц с характеристикой «преобразователя», являющейся аналогом импульсной функции задачи Коши в теории линейных детерминированных систем. 2. Для поиска импульсной функции используется высокоразвитый математический аппарат линейных детерминированных систем. В качестве исходных данных использовалась определенная в [2] дискретная математическая модель вероятности распределения дисперсного состава агрегатов твердой фаза при магнитной коагуляции. 3. Для перевода дискретной математической модели в непрерывную (от вероятности к плотности вероятности распределения) использовалась знаменитая теорема отсчетов В.А. Котельникова [9].

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.