О ВОЗМОЖНОСТИ СОВЕРШЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ И ИНТЕГРАЦИИ ЗНАНИЙ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ Жумаев Э.Э.

Термезский ГУ (Узбекистан)


Номер: 9-
Год: 2014
Страницы: 295-299
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

геометрия, началах, символика, касательная, дифференциал, века Леонарда Эйлера, geometry, beginnings, symbolics, tangent, differential, centuries of Leonard Euler

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В работе рассматривается причины возникновения геометрии, как главные задачи науки того времени, успехи науки в 17в., существенный вклад в решение задачи о касательной и возникновение понятия дифференциала.

Текст научной статьи

Современная геометрия, являясь феноменом общечеловеческой культуры республики Узбекистана, обладает высоким развивающим потенциалом, поскольку ее изучение способствует развитию пространственного воображения и логического мышления. Изучение именно этих переходных математических областей представляло исключительный интерес как для уточнения (выяснения) связи между науками, так и для понимания природы каждой отдельной области человеческого знания. И именно здесь надо было ожидать наибольших результатов. Цель изучения математики - усвоение её как науки и научного метода миропознания. Преподавая математику, необходимо как можно чаще и практичнее сближать (особенно в задачах) её, как научный метод миропознания, с теми конкретными научными фактами и явлениями, к которым она применима. Но, будучи педагогами, автор помнят старое мудрое правило: считай обучаемых людьми умными, но многое, если не все, забывшими. Знаменитый греческий историк Геродот (484 - 425 гг. до н.э.), ссылаясь на египетских жрецов, писал так: царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от какого - нибудь надела река отнимала что - нибудь, то владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить, насколько он сталь меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся части налог, пропорциональный установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия, которая затем из Египта была перенесена в Элладу. Конечно, Геродот основательно упрощает причины возникновения геометрии, но мы хотим пока отметить три момента. Во - первых, из объяснения Геродота становится вполне понятным смысл самого слова «геометрия» - землемерие (от греческих γη - земля, µετρέω - мерю), т.е. геометрия с момента зарождения была связана с практическими нуждами людей. Во - вторых, для вычисления изменений в налоге надо было составить и решить пропорцию, т.е. геометрия всегда была связана с другими разделами математики, поначалу - с арифметикой. И наконец, в - третьих, первые геометрические знания были перенесены в Элладу, где усилиями многих поколений ученных были систематизированы, развиты и получили прекрасное оформление в «Началах» гениального Евклида (ок. 300г.до.н. э.). Символично, что «Начала» были написании в Александрии, городе, находящемся на территории Египта, где, если верить Геродоту, и родилась геометрия. В течение двух с лишним тысячелетий «Начала» считались образцовым сочинением и добрая сотня поколений знакомилась с геометрией именно по Евклиду. Это произведение содержит большую часть материала, излагаемого и сегодня в школьном курсе геометрии, а также много других интересных и важных фактов геометрии, теории отношений, теории чисел и т.п. Однако у Евклида изложена лишь та часть геометрия, которая более или менее хорошо получается без применения алгебры, без тригонометрии, без теории пределов. И пока люди не включили в геометрию алгебраическую символику и уравнения, тригонометрические функции и предельный переход, ничего по - настоящему более глубокого, чем то, что есть в «Началах», им в геометрии создать не удалось. Для алгебры время пришло значительно позднее. Очень медленно - полторы тысячи лет - создавалась математическая символика. Первые шаги в этом направлении сделал александрийский математик Диофант, придумавший обозначения для неизвестных и их степеней и знаки вычитания и равенства. Гениальной и, как все гениальное, простой оказалась догатка французского ученного Франсуа Виета (1540 - 1603), начавшего обозначат буквами не только неизвестные, но и коэффициенти при их. По -настоящему же символика элементарной алгебры стала использоваться еще позднее - в книге Рене Декарта «геометрия», которая вышла в свет 1637г. Но прежде чем говорить о заслугах Декарта, мы обратимся к тем задачам, которые стояли перед его непосредственными предшественниками и современниками и более или менее отчетливо понимались ими, как главные задачи науки того времени. Вообще, конечно, задач было очень много, но можно считать, что наиболее существенными оказались три. Первая задача - чисто алгебраическая - заключалась в требовании открыть формулы для вычисления корней алгебраического уравнения произвольной степени. Вторая задача была поставлена еще до нашей эры (конечно, не в той формулировке, которую мы сейчас предложим): пусть Ф фигура ограничена некоторыми кривыми; требуется найти ее площадь. Сначала задача была поставлена значительно конкретнее: с помощью циркуля и линейки требуется построить квадрат, площадь которого равна площади круга данного диаметра (задача о квадратуре круга). Античные математики, вообще говоря, понимали, что решение этой частой задачи требует создания новых общих методов. Первые шаги в этом направлении были сделаны еще до Евклида выдающимся математиком Евдоксом Книдским (ок.406 - 355 гг. до н.э.), сумевшему найти квадратуру параболы и ряда других фигур. Методи Евдокса - Архимеда были успешно развиты европейскими математиками 16 - 18 вв., и задача о квадратурах в конечном итоге привела к идее определенного интеграла. Развитие этого направления в математике было обеспечено и ее внутренними потребностями, и прежде всего нуждами развивавшихся физики, механики, техники. С третьей задачей - а она - то нас и будет интересовать более всего - дело обстояло сложнее. Она состоит в отыскании способов проведения касательной к кривой в произвольной ее точке. Эта задача была по - настоящему поставлена и решена только в 17в. Успехи науки в 17 в. Вообще необичайно велики. Более того, можно сказать, что ни одна предшествующая эпоха не дала ничего подобного. Не говоря уж о многочисленных более или менее значительных частных приобретениях науки, в естествознании были созданы четыре фундаментальные научные теории, оказавшие решающее влияние на дальнейшее развитие науки, - физическая оптика, классическая механика, теория тяготения и исчисление бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисление). И может быть, еще важнее этих открытий было уничтожение резкого различия., которое до той поры существовало между математикой и естественными науками. Именно в 17в. Стала понятной общенаучная роль математики. И конечно, успехи эти объясняются не одной лишь гениальностью ученых того времени, но прежде всего подъемом общественного производств, ростом материальной культуры, развитием передового для той эпохи капиталистического уклада хозяйства. Стремительный рост числа ученных, создание академий и других научных учреждений, открытие обсерваторий и музеев объясняются именно этим, а не благими пожеланиями королей, кардиналов и министров. Наука стала обязательной принадлежностью цивилизованного государства. На различных этапах развития научного знания один из этих процессов может доминировать. В связи с повышенным вниманием к процессам синтеза усилилось изучение существенных сторон источника всех человеческих знаний - материального мира. Возможность совершения процессов дифференциации и интеграции знаний коренится в единстве многообразия материального мира. «Единство многообразия окружающего нас мира составляет объективную основу процессов дифференциации наук, специализации знаний, с одной стороны, и процессов объединения, взаимосвязи наук, интеграции знаний - с другой . Но вернемся к задаче о касательной. Для крупнейших математиков 17в. Вопрос о методах ее решения служил источником ожесточенных споров. Эти споры велись в основном в переписке, так как настоящих научных журналов тогда еще не существовало. Большая часть корреспонденции шла через постоянно жившего в Париже Марена Мерсенна (1588 - 1648),который сохранил для потомства переписку своих друзей, ему же часто приходилось мирить не в меру раздраженных спорщиков, живших в разных городах и странах. К задаче о касательной почти одновременно обратились Рене Декарт (1596 - 1650), Пьер Ферма (1601 - 1655) и Жиль Персонье (1602 - 1675), более известный под именем Роберваля. Наибольшей славы добился Декарт, опубликовавший свои основные труды - «Рассуждение о методе» (частью этого труда и является знаменитая «Геометрия»), «Начала философии» и др. Сочинения же Роберваля и Ферма были опубликованы лишь посмертно. Тем не менее все они, а также их более молодой современник Блез Паскаль (1623 - 1662) внесли существенный вклад в решение задачи о касательной, которая, по существу, является переводом на геометрический язык важнейшей задачи механики - о скорости движения точки и первой задачи дифференциального исчисления - задачи о скорости изменения функции, т.е. о производной. Декарту не удалось создать учение о производных, но он с присущей ему гениальностью прекрасно представлял, как далеко можно пойти, решая эту задачу. Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движением и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном - Лейбницем. «Геометрию» Декарта от трудов его многочисленных предшественников существенно отличает, как уже сказано выше, достаточно свободное применение алгебраической символики. Она у Декарта почти не отличается от современной, - во всяком случае. Именно он приучил нас обозначат переменные (неизвестные) последними буквами латинского алфавита, а коэффициенты при них - первыми. Следующее новшество Декарта - введение координат. Строго говоря, в «Геометрии» нет ни слова «координаты». Ни упоминания об абсциссе и ординате, более того, в чертежах к «Геометрии» нет привычных нам перпендикулярных осей. Но есть главное: вся точки линий, которые можно назвать геометрическими, т.е. которые подходят под какую - либо точную и определенную меру, обязательно находится в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии. Прямая, ее уравнение есть y = ax+b, координаты всех точек прямой лини (оси абсцисс) связаны с координатами всех точек данной линии (в нашем примере - прямой). y = ах2 парабола, тоже связаны координаты точек оси абсцисс с координатами параболы. Иными словами, Декарт ясно сформулировал тот способ задания плоской кривой при помощи уравнения, связывающего координаты переменной точки, которым мы пользуемся и до сих пор, записывая: y = f(x). Еще не владея идей дифференциального исчисления, Декарт многократно пытался найти общий способ построения касательной. Об этом он писал и в «Геометрии», и в письмах Мерсенну, Робервалю, Ферма и др. Однако рассуждения Декарта о касательных были не очень отчетливыми. Гораздо яснее решение задачи изложил Ферма. Летом 1638 г.он писал Декарту: общий метод нахождения касательных к кривым заслуживает того, чтобы объяснить его более ясно, чем это было сделано до сих пор. Пусть дана кривая γ - с этого места мы будем излагать идеи Ферма на языке, более близком современному школьнику. Итак, пусть дана кривая y = f(x) и принадлежащая ей точка А с координатами х и y. Необходимо найти t = |DB|‌‌ - проекцию отрезка касательной [AD] (искомый отрезок DB называется подкасательной произвольную точку Е ( рис. 3 ) с абсциссой ‌‌‌x+Δx = |OF|‌. Из подобия треугольников DAB и DEF получаем: |EF| : y = ‌‌‌( t+Δx) : t. В этом (одном!) уравнения два неизвестных - подкасательная t и ордината EF точки F. Ферма делает никак не обоснованный шаг, который потом приведет его к успеху, - он заменяет ординату точки E на ординату точки I, т.е. на |IF| = ‌‌‌y + Δy (Хотя линия EF не равна ординате, проведенной к кривой из точки F., я тем не менее принимаю ее как бы равной на самом деле ординате). Теперь имеем: ‌‌‌(y + Δy) : y = ‌‌‌( t+Δx) : t. Если проделать несложные преобразования, то получим: ‌‌‌y t + t· Δy = y t+ yΔx, t = y · (Δx : Δy) = y (Δy:Δx). Заметим Ферма вычисляет приращение Δy в соответствии со специфическим свойством кривой, т.е. в соответствии с ее уравнением. Значит, для любой точки кривой можно вычислить длину подкасательной и, следовательно, построить касательную. Задача решена полностью, причем Ферма неоднократно подчеркивает, что его метод годится для любых кривых. Более того, еще раньше Ферма торжествующе писал: И более общий метод привести невозможно. Все это, конечно. Знаменательно хотя бы поэтому, что получились правильные результаты. Но слишком уже много непонятного. Присмотритесь к фигуре ACI (что - то вроде прямоугольного треугольника, катеты которого суть разности абсцисс и ординат двух точек кривой, а гипотенуза заменена дугой кривой) и к треугольнику ACE. Почему, хотя Ферма без дотаточного основания заменил катет EC катетом IC, а потом отбросил все, что остается в соединение с Δx, что тоже совершенно не обосновано, все же получился общий метод. Может быть, ему просто повезло, а при построении касательной какой - нибудь особенной кривой ничего бы не получилось? Конечно, треугольник ACI требует очень внимательного рассмотрения. Через сорок лет, рассматривая аналогичный чертеж в работе Блеза Паскаля (1623 -1662) «О синусах четверти круга», великий немецкий ученый Г.В. Лейбниц почувствовал, что он «озарен лучом нового света». Вот тогда то и было не только впервые отчетливо связано о том, что такое дифференциал и что такое дифференциальное исчисление, но и были введены сами эти термины. Вскрывая сущность и особенности объективных процессов в области научного познания действительности, философы и естествоиспытатели выделяют разновидности происходящих процессов, разрабатывают типологию синтезирующих (синтетических) процессов, общих для большинства наук. В этот период наряду с понятием интеграции все чаще употребляется понятие синтеза наук и научных знаний. Теперь к рассмотрению треугольника Ферма и Паскаля глазами Лейбница. Для его построения нам понадобится кривая линия AB, такая, чтобы отношение ординаты к абсциссе выражалось каким - либо уравнением. Мы скажем проще: пусть кривая AB задана уравнением y = f(x), причем точка A имеет координаты x и y (рис..4). Дадим абсциссе x приращение | AC | = Δx. Тогда ордината y получить приращение | CB | = Δy. Образовался криволинейный треугольник ACB с прямолинейными катетами Δx и Δy, криволинейной гипотенузой Δs, где s - длина дуги кривой, и острым углом φ между катетом AC и касательной AE, проведенной к кривой в точке A. Одновременно с треугольником ACB образовался и треугольник ACE. Его катеты AC и EC Лейбниц назвал дифференциалами (differentia - разность) и обозначил dx и dy. Треугольник ACE имеет с треугольником ACB общий уголь φ и совпадающий катет dx = Δx. Сложнее дело обстоит со вторым катетом, но вот тут - то как раз виден луч света! Дифференциал ординаты dy пропорционален дифференциалу абсциссы dx : dy = kdx, при этом коэффициент пропорциональности k = tg φ. Это легко увидеть прямо на чертеж. Чуть труднее увидеть другое. Приращение ординаты Δy связано с дифференциалом абсциссы dx очень простым равенством Δy = kdx + |BE|. Лейбниц заметил, что при стремлении Δx к нулю пределом отношения |BE| : Δx будет нуль! (только как он говорил, так сказали через полтораста лет). Поэтому - то у Ферма и получилось все хорошо, когда он отбрасывал все, что оставалось в соединении с Δx, т.е. когда он заменял приращение ординаты ее дифференциалом. Заметим, что все эти рассуждения годятся, по - видимому, для любой функции (кстати, термин «функция» впервые был употреблен тоже Лейбницем, сделал он это в 1694 г.) Что же из всего этого следует? Если нам известны dx и коэффициент k = tg φ, то мы легко - простым умножением - можем вычислить дифференциал функции, так как dy = kdx. Резко возросший авторитет науки и как источника новых импульсов развития общества и как средства их осуществления привел к тому, что она сама оказалась в центре многочисленных исследований, развернутых как в плане истории науки, так и в плане теоретического осмысления и прогнозирования фундаментальных процессов развития научного знания. Для того чтобы абстрактная наука сделала такие шаги, нужны по меньшей мере два обстоятельства - побудительный мотив со стороны практики и гениальный ум, порою даже несколько таких умов, принимающих эстафету мысли друг от друга. На первых порах единственным стимулом со стороны практики была геометрия, затем к ней присоединились механика и много позднее - физика и техника. Сама же геометрия почти все время имела мощные стимулы со стороны геодезии и картографии, наук об измерениях на земной поверхности и об изображении этой кривой поверхности на плоскости, т.е. на карте. Что касается гениальных умов, то они появлялись не очень часто и не всегда геометрия была их единственным или хотя бы основным занятием. Лейбниц и Ньютон - гении 17в. 18 век математики называют веком Леонарда Эйлера (1707 - 1783). До сих пор многие разделы математики и механики связаны с упоминанием имени Эйлера: теорема Эйлера о многогранниках, условия Эйлера в математическом анализе, формула Эйлера в дифференциальной геометрии, функция Эйлера в теории чисел, уравнения Эйлера в гидромеханике и т.д. Фундамент современной дифференциальной геометрии изложил Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855), пользовавшийся, хотя и в неявной форме, исчислением, «подобным дифференциальному», о котором еще Лейбниц писал: я думаю, мы нуждаемся еще в одном исчислении, собственно геометрическом или линейном». Идеи Гаусса развивались многими математиками того времени и продолжают развиваться до нашего времени. Однако еще в середине 19в., опираясь на теории квадратичных форм Гаусса, другой немецкий ученый - Бернхард Риман (1826 - 1866) - высказал идеи, которые легли в основу дифференциальной геометрии 20в., Кроме этого, во - первых, понадобится то самое «геометрическое или линейное исчисление», о котором мечтал Лейбниц и которым неявно пользовался Гаусс. Это исчисление называется теперь векторным. Его основы были созданы еще в первой половине 19в. Немецким математиком Германом Грассманом (1809 -- 1877) и английским математиком Уильямом Гамильтоном (1805 - 1865). Их идеи были развиты в конце 19в. Известнимы физиками - англичанином Джеймсом Максвеллом (1831 - 1879), американцем Джойзайя Гиббсом (1839 -1903) и др. во - вторых лейбницевскому изложению теории дифференциалов. Таким образом, лежащий в основе новой концепции принцип развития направляет внимание исследователей на точки соприкосновения между науками, что раньше либо не замечалось, либо игнорировалось. Необходимо было резко повысить уровень научной подготовки учительства, создать условия для ознакомления с новейшими научными достижениями.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.