СОСТАВЛЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В ОБУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ Шодиев Б.Ш.

Ташкентский государственный педагогический университет им. Низами. (Узбекистан)


Номер: 9-
Год: 2014
Страницы: 339-343
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

формирования, творческого мышления, средств, обучения, модели, чертежи, геометрических тел, истрия математика, shaping, creative thinking, facilities, education, models, drawings, geometric, mathematics

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Характерной чертой современной жизни Республики Узбекистан является высокий уровень интеллектуализации профессиональной деятельности, интеграции науки и техники. Для успешного овладения приемом составления задач на доказательство учащиеся должны уметь выполнять такие мыслительные операции как анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, конкретизация, обобщение. Для формирования рассматриваемого приема учащимся предлагаются учебные задания, цель которых выяснить как и когда должна быть составлена данная задача, т.е. какая идея лежит в ее основе, какой теоретический материал.

Текст научной статьи

В общем случае механизм составления задач на доказательство может быть описан с помощью следующей последовательности действий: 1) выбор объектов и целей их исследования; 2) анализ полученной заданной ситуации; 3) получение нового знания об объектах задачи; 4) формулировка задачи на доказательство полученного факта; 5) решение составленной задачи. Заметим, что анализ заданной ситуации может осуществляться двумя способами: 1) на основании построений и измерений; 2) с помощью вывода логических следствий и выбранных условий. В первом случае сначала выдвигается гипотеза, которая становится новым знанием только после ее доказательства, т.е. после решения составленной задачи. Во втором случае полученное новое знание не нуждается в дополнительном доказательстве его истинности, поэтому решение составленной задачи служит контролем правильности ее постановки. Для успешного овладения приемом составления задач на доказательство учащиеся должны уметь выполнять такие мыслительные операции как анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, конкретизация, обобщение. Для формирования рассматриваемого приема учащимся предлагаются учебные задания, цель которых выяснить как и когда должна быть составлена данная задача, т.е. какая идея лежит в ее основе, какой теоретический материал. Рассмотрим пример такого задания. Задача. Доказать, что в треугольнике отношение наименьшей высоты к наименьшей биссектрисе не меньше . 1) Объекты задачи: треугольник; биссектриса большего угла; высота, опущенная к наибольшей стороне; угол между наименьшей высотой и наименьшей биссектрисой. 2) Свойства объектов: (рис-34) 3) Дополнительный теоретический материал: АС - большая сторона, АВС - наибольший угол; ВМ1= h - наименьшая высота; ВМ2 - наименьшая биссектриса (рис-34а). Один из учеников замечает из чертежа ( рис-35а), что Отсюда Известно, что АС > ВС, поэтому . Возникает такой естественный вопрос: почему (рис-35б) ВВ1 - наименьшая биссектриса ? Потому что в таком случае для треугольника может быть либо АВ > ВС, либо АВ < ВС. Если ВС > АВ, тогда В1 С > АВ1. Известно, что для биссектрисы . 4) Рассмотрим оба случая и установим дополнительные связи между ними. 1-ый случай. 2-ый случай. Из аналогично, из Если > 45°, то А = С + 2 > 90°, B > A > 90° (рис-34б). Следовательно, в треугольнике два угла не будут больше 90° . Итак, данная задача могла быть составлена следующим образом: Доказать, что угол между высотой и биссектрисой любого треугольника равна половине разности углов, прилежащих к наибольшей стороне. Решив эти задачи, нетрудно будет решить следующую, более обитую, задачу на уроке или во внеурочное время. Например: Задача. Докажите, что в любом треугольнике биссектриса, проведенная к наибольшей стороне, не превосходит высоты, опущенной на наименьшую сторону. Доказательство. Выполнив чертеж, учащиеся переходят к обсуждению. Чтобы доказать требуемое, нужно доказать, что, где. Но как это доказать ? Один из учеников замечает из чертежа, что в треугольнике АВС угол ВАС наибольший и пусть АС > ВС. Пусть в АВС АВ - высота, опущенная на сторону ВС, и СL - биссектриса, проведенная к АВ. Обозначим ВС = a, АС = b, тогда Один из. учащихся предлагает найти площадь треугольника следующим образом: . Предложение принимается, поскольку ученик предвидит ход дальнейших рассуждений. Теперь уже многие в классе видят, что По условию задачи и является наибольшим углом треугольника, тогда 180° > 2 > 60°, т.е. 90° > 30°. Отсюда вытекает, что Поэтому т.е. , что и требовалось доказать. Составление задач, обратных данной, помогает учащимся анализировать условие и заключение задачи, уяснить взаимосвязь между величинами, данными в задаче, извлечь дополнительную информацию, заключающуюся в связях между величинами решенной поставленной задачи. Рассмотрим примеры выполнения заданий по составлению задач: Задача. Докажите, что у равных треугольников АВС и A1B1C1 медианы, проведенные из вершин А и А1, В и В1, С и С1, равны. Доказательство. Выполнив чертеж (рис-42) , учащиеся переходят к обсуждению. Если треугольники равны, то соответствующие углы и стороны равны, т.е. Либо и т.д. Пусть Докажем, что где К,N,М - середины сторон треугольника АВС и K1N1M1 - середины сторон треугольника A1B1C1. Один из учеников из чертежа замечает, что в треугольниках АNВ и A1N1B1 AB= A1B1 BN =B1N1 так как N и К1 - середины ссторон равных отрезков и . Тогда по первому признаку равенства треугольников Тогда Таким образом, учащиеся аналогично доказывают, что После этого учитель рекомендует составить и решить задачу обратную данной. Перед учениками возникает проблемная ситуация и они попытаются составить задачу. Предложений много. Одно из них: Если у треугольников АВС и A1B1C1. медианы, проведенные из вершин соответственно, равны, доказать, что треугольники АВС и A1B1C1. равны. Предложение принимается. Доказательство. Пусть у треугольников АВС и A1B1C1. где медианы треугольника АВС и - медианы треугольника A1B1C1.. Докажем, что треугольники АВС и A1B1C1. равны. Один учащийся предлагает решать задачу используя формулы Предложение принимается. Теперь уже многие в классе аналогично находят: По условию задачи Отсюда (1) (2) (3) Просуммируем обе части равенств (1), (2), (3) и получаем : Отсюда После этого учащиеся аналогично находят, что Таким образом, учащиеся могут формулировать существенный признак равенства треугольников по трем медианам: Для того, чтобы треугольники АВС и A1B1C1 были равными, необходимо и достаточно, чтобы медианы, проведенные из вершин треугольника АВС, были равны медианам, проведенным из соответствующих вершин треугольника A1B1C1. Отметим следующие особенности составления и решения задач, обратных данной: 1) в процессе составления задач, обратных данной, учащиеся выявляют и используют взаимно обратные связи между величинами задачи, например, если в задаче определялась площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними, то в задаче, обратной данной, определяются стороны или угол между ними по площади параллелограмма; 2) одно и то же понятие, фигура, величина, отношение входит в несколько различных рассуждений и находится существенно иными способами рассуждения. При одновременном решении задачи и задачи, обратной ей, расширяется актуализация знаний; 3) решая задачу, обратную данной, учащиеся самостоятельно перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. Признанный учителями интерес учащихся к составлению и решению задач, обратных данной, объясняется прежде всего тем, что такой путь устанавливает разнообразие связей, заключенных в решении данной задачи, т.е. позволяет извлечь дополнительную информацию, а именно информаци связи.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.