СТЕПЕННЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СРЕЗОК НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Миллер Н.В.,Швец Ю.В.,Пучнин Р.В.

Сибирский государственный университет путей сообщения


Номер: 11-1
Год: 2015
Страницы: 41-44
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

несобственные интегралы, интегральные неравенства, неполная гамма-функция, обобщенная функция ошибок, the improper integral, integral inequalities, gamma function, complementary error function

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассматриваются вопросы, связанные с оценкой четных степеней несобственных интегралов специального вида с переменной нижней границей. Важно, что квадрат изучаемой функции оценивается не через значение подынтегральной функции в некоторой фиксированной точке, а через значения функции в точке bx, где b - произвольное число из некоторого замкнутого интервала.

Текст научной статьи

Получению различных оценок для важных в приложениях и теоретических исследованиях определенных интегралов посвящено большое число работ. Особое внимание при этом было сосредоточено на гамма-функции , которая имеет широкое применение в математическом анализе. Кроме того, через нее выражается целый ряд специальных функций, многие важные в математике несобственные интегралы, бесконечные произведения и ряды. В 1974 году W.Gautschi [1, 280] показал, что для положительных выполняется неравенство: . Важная двойная оценка была установлена G.D. Anderson и S.-L. Qiu в работе [2, 383] , где , C=0,57721...- постоянная Эйлера. Целый ряд других интересных неравенств получен в работах [3-7]. Близкие результаты были получены и для неполной гамма-функции Эйлера . Так, в [8, 75] было показано, что , где , , . В работе [9, 611] изучалась нижняя срезка плотности стандартного гауссова распределения . Автором было установлено, что для любого и справедливо неравенство (1) В работе [10, 112] показано, например, что границы интервала для параметра а в неравенстве (1), являются неулучшаемыми, т.е. правая граница не может быть увеличена, а левая не может быть меньше 1. Цель настоящей работы заключается в том, чтобы получить степенную оценку типа (1) для функции , которую часто называют дополнительной обобщенной функцией ошибок. Отметим, что . Сформулируем основные результаты. Теорема 1.1. Для любых и справедливо неравенство . (2) Теорема 1.2. Оценка (2) в теореме 1.1 остается справедлива при для любого . Доказательство теоремы 1.2. Заметим, что при неотрицательном х справедливо равенство . Поэтому при имеем . Отсюда для неотрицательных значений х и . При наложенных в теореме 1.2 ограничениях получаем . Отсюда, так как подынтегральная функция положительна и , получаем . Теорема 1.2 доказана. Доказательство основного результата. При доказательстве теоремы 1.1 будет использоваться схема аналогичная рассмотренной в работе [9] для нижней срезки неопределенного интеграла от гауссова распределения. Заметим, что при оценка (2) справедлива в силу того, что для всех действительных х справедливо неравенство . Пусть . Очевидно, что функция убывает, так как подынтегральная функция положительна. Поэтому достаточно доказать справедливость неравенства (2) для . При этом значении параметра исследуем разность . (3) Заметим, что , (4) , (5) . (6) Используя формулу дифференцирования несобственного интеграла по параметру, получаем: . Аналогично выводим . Отсюда производную функции можно представить в виде =, (7) где . (8) Очевидно, что , (9) . (10) Заметим, что на интервале функция возрастает, а убывает. Отсюда, из соотношений (8) - (10) вытекает, что функция один раз меняет знак минус на плюс при отрицательных значениях аргумента. Поэтому в силу (3), (7) и (8) получаем, что имеет один минимум при . Ближайшая цель показать, что на положительной полуоси. Дальнейшие оценки проводим при . Имеем . Отсюда . (11) Из (11) получаем, что при . Осталось показать, что на интервале . При данных значениях аргумента получаем . Таким образом, показано, что функция один раз меняет знак минус на плюс на интервале . Поэтому на всей числовой прямой функция имеет единственный минимум. Вместе с соотношениями (6) - (8) это доказывает, что при любом х. Теорема 1.1 доказана.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.