ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD Потапова Н.Н.

Волгоградский архитектурно-строительный университет


Номер: 12-2
Год: 2015
Страницы: 179-182
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

задача линейного программирования, графический метод, минимум, максимум, функция цели, linear programming problem, the graphical method, minimum, maximum, the objective function

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В работе предлагается при решении задачи линейного программирования графическим методом использовать средства интегрированной системы MATHCAD.

Текст научной статьи

Одной из важнейших задач, стоящих перед высшей школой, является формирование всесторонне образованного специалиста, умеющего применять полученные знания в различных областях инженерной деятельности. В этой связи использование такого средства, как математическая интегрированная система MATHCAD, является мощным инструментом для решения многих практических задач. При изучении таких дисциплин, как «Прикладная математика», «Математическое обеспечение технологических процессов» и др. рассматривается задача линейного программирования и ее решение графическим методом в двумерном пространстве. Трудно переоценить значение этого метода, позволяющего наглядно представить полученный результат. Реализуется графический метод практически всегда «вручную». Ниже приводится пример[1,4] графического решения задачи линейного программирования с использованием средств интегрированной системы MATHCAD. Постановка одной из прикладных задач. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют 3 вида сырья: S1, S2 и S3 . Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, записаны в постановке задачи линейного программирования, где x1 - количество единиц продукции P1, x2 - количество единиц продукции P2, z- функция цели. Пусть математическая модель задачи имеет вид: Найти максимум целевой функции z= x1 + 2x2 при заданных ограничениях: x1 - x2 ≤ 5 15x1 + 4x2 ≥ 132 8x1 +11 x2 ≤ 230 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. 1. Построим уравнения граничных прямых, заменив в ограничениях знаки неравенств на знаки равенств. x1 - x2 = 5 L1 15x1 + 4x2 = 132 L2 8x1 +11 x2 = 230 L3 x2 = 0 L4 ось абсцисс x1 = 0 ось ординат 2. Выполним построение прямых в системе MATHCAD. Для этого выразим из уравнений х2 через х1. Получим: х2 = х1 -5 х2 = -15/4 ×х1 +132/4 х2 =- 8/11×х1 +230/11 х2 =0 Для построения прямой z=0 или x1 + 2x2 = 0 = const приравняем функцию цели к нулю, откуда получим x2 =-1/2×x1 Для построения вектора, перпендикулярного к прямой z=0 задаем интервал в данном случае x:=0..1 и зависимость x2 =2×x1. Таким образом, для построения прямых в системе MATHCAD соответственно введем шесть функций и построим их в декартовой системе координат (листинг 1, рис.1). Листинг 1. Решение задачи линейного программирования в системе MATHCAD: 3. Взяв какую-нибудь точку, например О(0;0), установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. 4. Пересечение полуплоскостей дает многоугольник решений ABC (в данном случае треугольная область). Выделяем эту область (рис.1). Рис.1. Построение многоугольника решений в системе MATHCAD 5. Построенную прямую z = 0 перемещаем в направлении вектора параллельно самой себе. 6. Опорной по отношению к многоугольнику решений прямая z = 0 становится в угловой точке A (первая точка, для которой z = 0 является опорной, рис.1), где функция z принимает минимальное значение. 7. Определим координаты точки минимума и значение целевой функции. Так как точка минимума А лежит на пересечении прямых L1 и L2=0, для нахождения ее координат решим систему уравнений: Примечание. Решение системы уравнений выполним матричным способом (листинг 2), используя формулу (1): X=A-1*B, (1) где A-1 - матрица, обратная матрице А - коэффициентов левых частей уравнений решаемой системы, B - вектор правых частей. Листинг 2. Нахождение координат и функции цели точки минимума в системе MATHCAD: ORIGIN:=1 z=14 Таким образом, точка A(8;3) - точка минимума. Подставим значения x1 = 8, x2 = 3 в функцию цели: zmin = 8+2×3 = 14. Следовательно, для получения минимальной прибыли необходимо запланировать производство 8 единиц продукции P1 и 3 единицы продукции P2. 8. Аналогично вычисляются координаты точки максимума В и значение функции цели в этой точке (листинг 3). Опорной по отношению к многоугольнику решений прямая z = 0 становится в последней угловой точке B (рис.1), где функция z принимает максимальное значение. В нашем примере точка максимума лежит на пересечении прямых L2 и L3=0. Для определения ее координат решим систему уравнений: Листинг 3. Нахождение координат и функции цели точки максимума в системе MATHCAD: z=40 Точка B(4;18) - точка максимума. Подставим значения x1 = 4, x2 = 18 в функцию цели: zmax = 4+2×18 = 40. Следовательно, для получения максимальной прибыли необходимо запланировать производство 4 единиц продукции P1 и 18 единиц продукции P2. В заключении следует отметить, что использование системы MATHCAD позволит избежать многих ошибок при построении многоугольника решений, а также в расчетах координат точек, в которых функция цели достигает своего минимального и максимального значения, и, в конечном итоге, повысить эффективность обучения.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.