ИССЛЕДОВАНИЕ СКАЛЯРИЗАЦИИ ВЕКТОРНЫХ ОЦЕНОК В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ Хадзарагова Е.А.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт


Номер: 3-3
Год: 2015
Страницы: 15-17
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

векторная оценка, многокритериальная оптимизация, vector assessment, multi-objective optimization

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассмотрены подходы к сравнению векторных оценок в многокритериальных оптимизационных задачах функционирования сложной системы для создания имитационных моделей управления сложными техническими комплексами.

Текст научной статьи

Сложность и многогранность проблем, возникающих в процессе принятии решения в системах автоматизированного управления, привели к тому, что вопросы формирования критериев для анализа и синтеза систем превратилось в серьезное научное направление. В настоящее время существуют три основных языка описания методов принятия решения: язык последовательного бинарного выбора, обобщенный язык функций выбора и критериальный язык. Будем называть выбор управляющих воздействий с учетом одного свойства принятием простого решения, выбор управляющих воздействий с учетом совокупности свойств - принятием сложного решения, или задачей многокритериальной оптимизации. Задачи принятия простого решения подробно исследованы в литературе по методам оптимизации. Многокритериальные задачи не имеют однозначного общего решения. Поэтому предлагается множество способов придать многокритериальной задаче частный вид, допускающий единственное общее решение. Для разных способов эти решения являются различными, поэтому крайне важно при решении многокритериальной задачи обосновать вид ее постановки. Используются разнообразные варианты упрощения многокритериальной задачи выбора. Оптимальное решение может принадлежать только области компромиссов, так как в области согласия решение может быть и должно быть улучшено по соответствующим критериям. Выделение области компромисса сужает область возможных решений, но для выбора одного единственного варианта решения необходимо раскрыть смысл оператора оптимизации или выбрать схему компромисса. Если предположить, что все локальные критерии нормализованы, то основными схемами компромисса являются принцип равномерности, принцип справедливой уступки, принцип выделения одного оптимизируемого критерия, принцип последовательной уступки [1,115]. Рассмотрим два подхода к выделению эффективного или слабоэффективного оптимального решения из множества всех решений задачи многокритериальной оптимизации. Как известно, задача оптимизации управления развитием технологически замкнутой системы, являясь динамической многокритериальной задачей поиска альтернатив ее развития на длительную перспективу, характеризуется множественностью принципов оптимальности. Под многоцелевой оптимизацией понимается направление в теории принятия решений, изучающее принятия решений по многим целевым функциям в проектировании и планировании [1, 79]. Значительная часть подходов в принятии решения по многим целевым функциям состоит в применении некоторых процедур, то есть отсечения «неоптимальных» альтернатив на основе дополнительной информации, получаемой в ходе специально построенного эксперимента. Вычислительные методы многоцелевой оптимизации служат, как правило, не только для нахождения оптимальных (обычно по Парето) альтернатив, но и для альтернативных к ним, содержательно более обозримых формулировок совокупной оптимальности [2, 26]. Принципы оптимальности в многокритериальных задачах могут формулироваться в виде некоторых упорядочений на множестве альтернатив, либо функцией полезности, либо каких-то функционалов от целевых функций, подлежащих максимизации. При наличии нескольких независимых критериев для оценки управляющих воздействий выбор наилучшего решения является нетривиальной задачей. В многокритериальной задаче максимизации из двух векторных оценок, отличающихся лишь одной компонентой, предпочтительнее та, у которой такая компонента больше. Гораздо сложнее сравнить векторные оценки с различными компонентами. Предложены варианты выбора терминальной точки из Парето -оптимального множества для выработки коллективного решения в задачах оптимального управления развитием технологически замкнутой системы: выбор, основанный на использовании оценки максимального отклонения вектора полезности произвольного решения от вектора максимумов по каждому решению; выбор, использующий арбитражную схему Нэша; выбор с помощью свертки критериев. Пусть X - множество возможных исходов принятия решения. Каждый из исходов оценивается с помощью векторного критерия . Обозначим через множество оценок для всех возможных значений xÎX. Довольно очевидно, что если найдется такой вектор , что для всех HÎc, то решение x*, для которого H(x*)=H*, следует считать наилучшим, поскольку оно является наилучшим по всем компонентам векторного критерия Н среди решений xÎX. Векторную оценку H*Îc назовем максимальной по (по ) относительно c, если не существует оценки H¹H*, HÎc, такой, что (). Оценка, максимальная по , является оптимальной по Парето (или эффективной) оценкой, а соответствующее решение x* - оптимальным по Парето (или эффективным). Таким образом, оптимальное по Парето решение обладает тем свойством, что не существует никакого другого решения , которое превосходит его в смысле отношения порядка по всем компонентам критерия H. Иными словами, если x*- Парето-оптимальное решение, то из условия , i=1,…, m, то должно следовать (а значит, Множество оценок, удовлетворяющих этому условию, назовем множеством Парето, или эффективным, а множество соответствующих решений P(x)ÌX - множеством эффективных решений, или Парето - оптимальным множеством, т.е. . Векторная оценка , максимальная по >, является слабо эффективной, или слабооптимальной по Парето, или оптимальной по Слейтеру, а соответствующее решение - оптимальным по Слейтеру, или слабоэффективным. Таким образом, оптимальное по Слейтеру решение обладает тем свойством, что не существует никакого другого решения которое превосходит его в смысле порядка > по всем компонентам критерия Н. Иными словами, если оптимальна по Слейтеру, то не существует такого что Множество оценок , оптимальных по Слейтеру, удовлетворяющих этому условию, назовем слабоэффективным множеством, а множество соответствующих решений - слабоэффективным множеством решений, т.е. для которых не существует таких, что Поскольку из следует , то всякая эффективная оценка слабоэффективна, так что и Основной задачей многокритериальной оптимизации является выделение оптимального решения из множества всех решений. Естественно, что хорошим следует считать метод, когда это решение оказывается эффективным или слабоэффективным. Мы предлагаем два подхода к выделению оптимального решения. Пусть Рассмотрим выражение , оценивающие максимальное отклонение оценки Н произвольного решения xÎX от вектора , представляющего собой вектор максимумов по каждому критерию. В качестве оптимальной точки x*ÎX предлагается выбрать точку x*, минимизирующую выражение, т.е.. Можно показать, что решение x* всегда слабоэффективно, а если оно единственно (с точностью до эквивалентности), то и эффективно. Другим методом выбора оптимального решения являются схемы, которые могут быть названы арбитражными схемами. Метод формулируется при некоторых предположениях о структуре множества c и функций Hi(x), i=1,…, n. Однако он может быть применен и в более общем случае. Будем считать, что множество c всевозможных оценок выпукло и компактно в Rn. Введем в рассмотрение некоторое исходное решение x0ÎX, которое будет пониматься нами как "консервативное" решение, подлежащее улучшению при решении данной многокритериальной задачи. Значение вектора полезностей Н в точке x0ÎX H(x0)={H1(x0),…, Hm(x0)}, будем называть точкой "статус-кво". Под арбитражной схемой понимается правило j, которое каждой паре {c, H(x0)} ставит в соответствие некоторую пару где (x интерпретируется как оптимальное решение) [2, 56]. Сформулируем для арбитражных схем аксиомы, которым должно удовлетворять правило j, сопоставляющее каждому выпуклому замкнутому подмножеству c в точке HÎc некоторую пару : 1. Реализуемость 2. Индивидуальная рациональность. 3. Оптимальность по Парето 4. Независимость от посторонних альтернатив. 5. Линейность. Будем считать, что в множестве c существует вектор Н, каждая i-я координата которого строго больше Hi(x0). Имеет место следующее утверждение. Функция где , удовлетворяет аксиомам. Исследование возможности скаляризации векторного критерия Н показало, что в достаточно широком классе случаев максимум скаляризованного критерия находится во множестве эффективных или слабоэффективных точек и, наоборот, каждая эффективная или слабоэффективная точка, в смысле векторного критерия Н, может быть вычислена как максимум некоторого скалярного критерия, полученного из Н. Сформулированные положения могут быть использованы для решения динамических многокритериальных задач. Проведены исследования динамической устойчивости выбранных выше принципов, заключающейся в сохранении первоначального движения в задачах с текущими начальными данными на оптимальной траектории [3, 75].

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.