МОДЕЛЬ ДЕЗАГРЕГИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Бывшев В.А.,Пахомов Е.В.,Маслёнкова М.В.

Финансовый университет при Правительстве РФ


Номер: 4-4
Год: 2015
Страницы: 51-58
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

временной ряд, агрегированные характеристики временного ряда, оптимизационная модель, валовой внутренний продукт, налог на добавленную стоимость, а time series, aggregated characteristics of the time series, an optimizing model, the gross domestic product, the value-added tax

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Обсуждается оптимизационная модель дезагрегирования экономических временных рядов. В качестве известной информации о временном ряде используются агрегированные характеристики временного ряда. Модель базируется на гипотезе об инерционном характере формирования уровней временного ряда. Приведены примеры расчётов по предложенной модели.

Текст научной статьи

1. Введение В экономической практике возникают задачи дезагрегирования временных рядов (датированных количественных показателей изучаемых объектов). Исходной информацией в таких задачах служат агрегированные характеристики соответствующего временного ряда (например, кумулятивные уровни поступлений налога на добавленную стоимость (НДС) в Федеральный бюджет), искомыми величинами являются дезагрегированные уровни данного ряда. Одной из задач, требующих знания дезагрегированных уровней динамического ряда, является задача оперативного прогнозирования будущих месячных поступлений НДС в Федеральный бюджет по известным кумулятивным значениям этих поступлений за предшествующий год. Возможный подход к решению данной задачи требует значений месячных поступлений НДС за предшествующие периоды времени, что и стимулирует построение модели дезагрегирования временных рядов. В предлагаемой работе описана оптимизационная модель дезагрегирования временных рядов и на конкретных примерах проиллюстрировано её использование. 2. Модель дезагрегирования временных рядов Обозначим символом исследуемый временной ряд с неотрицательными уровнями (например, - уровень поступлений НДС на товары (работы, услуги), реализуемые на территории Российской Федерации, в Федеральный бюджет в течение месяца соответствующего года). Множество возможных значений переменной времени может состоять либо из календарных дат, либо целых чисел; количество элементов этого множества обозначим буквой . Пусть о неотрицательных уровнях временного ряда доступна агрегированная информация в виде значений некоторых независимых линейных функций переменных, то есть Требуется на основании системы линейных алгебраических уравнений (1) со строчно невырожденной матрицей восстановить (конечно, приближённо) уровни исследуемого временного ряда. Символами и обозначены соответственно векторы упорядоченных уровней временного ряда и его агрегированных значений. Если количество уравнений (1) меньше количества уровней временного ряда что и наблюдается на практике, то данная задача не имеет единственного решения на множестве допустимых значений переменной . Это означает, что задача дезагрегирования временного ряда является некорректной по Адамару обратной задачей[1]. Чтобы из множества допустимых значений переменной выделить одно в определённом смысле мотивированное значение временного ряда , сделаем два предположения. Во-первых, полагаем, что уровни ряда относятся к одному календарному году. Во-вторых, постулируем, что процесс формирования уровней данного ряда носит инерционный характер, то есть велика корреляция между уровнями ряда , в соседние периоды времени , что весьма часто встречается в экономической практике. Эти предположения позволяют c учётом (1) составить следующую спецификацию оптимизационной модели дезагрегирования уровней временного ряда : Модель (2) является задачей нелинейного программирования[2]. Более того, это задача выпуклого (конкретно, квадратичного) программирования, поскольку и целевая функция , и функции (1), задающие ограничения, являются выпуклыми. Целевая функция этой задачи может рассматриваться как мера некоррелированности (непохожести) уровней исследуемого ряда в соседние периоды времени; идея подобных функций восходит к Р. Беллману[3]. Несложно проверить, что функция является квадратичной формой вектора упорядоченных уровней исследуемого временного ряда , , (3) с симметричной неотрицательно определённой трёх диагональной матрицей . Ранг этой матрицы на единицу меньше количества строк (и столбцов), а её нуль-пространство[4] (так именуется множество точек арифметического пространства которые матрицей трансформируются в нулевой вектор) в пространстве является линейным подпространством единичной размерности, состоящим из векторов с равными компонентами: . (4) Следовательно, функция достигает равный нулю абсолютный безусловный минимум в любой точке множества (4). Это значит, что только ограничения (1), возможно, не позволят решению задачи (2) оказаться во множестве (4). Решение задачи (2), которое и предлагается принять в качестве оценки дезагрегированных уровней исследуемого временного ряда , при непустом множестве допустимых точек может быть найдено методом множителей Лагранжа путем безусловной минимизации функции Лагранжа[5] (5) В выражении (5) символами обозначены неотрицательные множители Лагранжа, - вспомогательные переменные, позволяющие превратить в задаче (2) тривиальные ограничения - неравенства в ограничения - равенства. Подчеркнём, что является решением задачи (2) тогда и только тогда, когда удовлетворяет следующей системе из ( уравнений с таким же количеством неизвестных[6]: (6) На практике задачу (2) проще всего решать методом обобщённого приведённого градиента (ОПГ[7]), реализованного, например, в надстройке «Поиск решения» Microsoft Excel. Далее обсудим на двух примерах типичный вид функций-ограничений в задаче (2), а затем проведём расчёты по этой модели. Пример 1. Выше отметили, что функции (1) являются операциями агрегирования уровней временного ряда. Так, например, если - уровень поступлений НДС на товары (работы, услуги), реализуемые на территории Российской Федерации, в Федеральный бюджет в течение месяца соответствующего года, то функции оказываются операциями кумулятивного (накопленного) агрегирования. В таблице 1 представлены кумулятивные уровни (в тыс. рублей) поступлений НДС на товары (работы, услуги), реализуемые на территории Российской Федерации, в Федеральный бюджет за несколько лет[8]. Таблица 1. Кумулятивные уровни исчисленного НДС, тыс. рублей. Дата Кумулятивный уровень НДС Дата Кумулятивный уровень НДС 01.02.2010 4 871 814 696 01.02.2012 7 593 977 480 01.05.2010 9 112 623 107 01.05.2012 14 041 094 218 01.08.2010 14 030 129 656 01.08.2012 21 258 225 036 01.11.2010 19 446 931 973 01.11.2012 28 972 199 091 01.01.2011 19 694 433 782 01.02.2013 8 225 592 744 01.02.2011 6 124 798 636 01.05.2013 14 982 356 338 01.05.2011 11 702 025 833 01.01.2014 30 926 404 486 01.08.2011 17 964 858 682 01.11.2011 24 720 654 255 01.01.2012 24 970 203 612 Так, если - уровень поступлений НДС на товары (работы, услуги), реализуемые на территории Российской Федерации в Федеральный бюджет в течение месяца 2012 года, то уравнения функций выглядят так: в свою очередь, согласно данным из таблицы 1, правые части уравнений (1) имеют следующие значения: Пример 2. В таблице 2[9] представлены реальные (в ценах 2008 года) квартальные уровни (в млрд. руб.) ВВП России за несколько лет. Таблица 2. Квартальные уровни ВВП России 2010 2011 2012 2013 8895 9208 9646 9714 9545 9865 10285 10376 10404 10920 11248 11410 10919 11476 11717 11946 Если - уровень ВВП России, произведённый в течение месяца 2013 года, то уравнения функций выглядят, очевидно, так: в свою очередь, согласно данным из таблицы 2, правые части уравнений (1) имеют значения Отметим, что в общем случае к функциям-ограничениям в задаче (2) предъявляется лишь требования гладкости и выпуклости. Добавим, что агрегирующие функции вида (4) можно трансформировать в агрегирующие функции типа (3) и наоборот. 3. Расчёты по модели (2) дезагрегирования временных рядов Обратимся к кумулятивным агрегированным уровням поступлений НДС на товары (работы, услуги), реализуемые на территории Российской Федерации в Федеральный бюджет, представленным в таблице 1. Результаты расчётов по модели (2) дезагрегированных месячных уровней поступлений НДС на товары (работы, услуги), реализуемые на территории Российской Федерации в Федеральный бюджет, представлены в таблице 3; расчёты выполнены методом ОПГ в надстройке «Поиск решения» Microsoft Excel. Таблица 3. Дезагрегированные месячные уровни поступлений НДС Месяцы Годы 2010 2011 2012 2013 1 4871814696 6124798636 7593977480 8225592744 2 2464029411 3154531712 3975828862 4079044481 3 1112692389 1423832496 1480094795 1583310413 4 664086611,1 998862988,6 991193080,8 1094408700 5 1284373933 1652840474 1926492104 1960955594 6 1674087228 2140527621 2473759990 2508223480 7 1959045388 2469464754 2816878724 2851342214 8 2329700950 2681080014 3104958506 3139421996 9 1871607963 2413244376 2737590070 2772053560 10 1215493404 1661471183 1871425480 1905888970 11 247501809 249549356,9 628322874,1 662786364,3 12 0 0 108912479 143375969,2 Следом представлены графики дезагрегированных месячных уровней поступлений НДС на товары (работы, услуги), реализуемые на территории Российской Федерации в Федеральный бюджет, построенные по данным таблицы 3. Рис 1. Графики дезагрегированных по модели (2) месячных уровней поступлений НДС Рассматривая эти графики, констатируем, что в структуре месячных поступлений НДС в Федеральный бюджет отчётливо виден положительный тренд и сезонная составляющая. Этот вывод подтверждает анализ агрегированной информации, содержащейся в таблице 1 и представленной на следующем графике. Рис 2. Кумулятивные уровни поступлений НДС в Федеральный бюджет Теперь обратимся к квартальным уровням ВВП России, размещённым в таблице 2. Результаты расчётов по модели (2) дезагрегированных месячных уровней ВВП России представлены в таблице 4; расчёты выполнены методом ОПГ в надстройке «Поиск решения» Microsoft Excel. Таблица 4. Дезагрегированные месячные уровни ВВП России Месяцы Годы 2010 2011 2012 2013 1 2929,9 3036,1 3182,3 3204,2 2 2956,4 3061,0 3207,2 3229,6 3 3008,7 3111,0 3256,5 3280,2 4 3089,6 3185,4 3330,4 3356,2 5 3178,8 3281,1 3422,9 3452,1 6 3276,6 3398,5 3531,8 3567,7 7 3382,8 3537,0 3658,1 3703,1 8 3473,4 3648,9 3758,0 3812,1 9 3547,8 3734,1 3832,0 3894,7 10 3607,1 3792,8 3879,6 3950,8 11 3646,6 3831,8 3910,7 3988,2 12 3665,3 3851,4 3926,7 4006,9 Ниже (рис.3) приведены графики дезагрегированных месячных уровней построенные по данным таблицы 4. Рассматривая эти графики, констатируем, что в структуре месячных уровней ВВП России отчётливо виден положительный тренд и сезонная составляющая. Этот вывод подтверждает анализ агрегированной информации, содержащейся в таблице 2. Рис 3. Графики дезагрегированных по модели (2) месячных уровней ВВП России Подчеркнём, что особенности этих графиков (конкретно, наличие точек перегиба) в полной мере согласуются с характером графика динамики квартальных уровней ВВП России (табл.2), расположенного на следующем рисунке. Рис 4. График динамики квартальных уровней ВВП России в 2010 -2013 гг. Подведём итог. Проведённые выше расчёты по обсуждённой модели (2) дезагрегирования временных рядов позволяют констатировать, что на годовых промежутках времени эта модель приводит к адекватным оценкам дезагрегированных уровней исследуемого динамического ряда в ситуации инерционного характера формирования его уровней (то есть при наличии положительной корреляции уровней ряда в соседние периоды времени). Подчеркнём, что инерционный характер формирования уровней присущ многим экономическим временным рядам, таким, например, как располагаемый доход домохозяйств[10], цены акций[11], обменный курс национальной валюты[12], объём инвестиций в основной капитал страны[13], цена нефти5, международные резервы страны5 , инфляция[14], процентные ставки по кредитам5 и т.д. Для расчётов по модели (2) общедоступно программное обеспечение, реализованное, например, в надстройке «Поиск решения» Microsoft Excel.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.