О РОЖДЕНИИ УСТОЙЧИВОЙ ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Ройтенберг В.Ш.

Ярославский государственный технический университет


Номер: 5-1
Год: 2015
Страницы: 16-26
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

кусочно-гладкие векторные поля, бифуркации, устойчивые замкнутые траектории, piecewise smooth vector fields, bifurcations, stable closed orbits

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассматриваются условия рождения устойчивой замкнутой траектории из положения равновесия на границе поверхности скользящих движений кусочно-гладкого векторного поля в трехмерном пространстве.

Текст научной статьи

Хорошо изучены бифуркации гладких векторных полей, описывающие «механизмы» возникновения автоколебаний при потере устойчивости положения равновесия динамической системы: бифуркация Андронова-Хопфа и седло-узловая бифуркация [1]. Несомненный интерес представляет описание бифуркаций рождения устойчивых замкнутых траекторий при потере устойчивости положения равновесия кусочно-гладких (разрывных) векторных полей, описывающих релейные динамические системы. Основные локальные бифуркации в случае двумерного фазового пространства рассмотрены в книге [9]. В случае размерности фазового пространства , когда положение равновесия при всех значениях параметра находится на поверхности скользящих движений, его бифуркации сводятся к бифуркациям гладкого векторного поля на поверхности скользящих движений [9; 10]. В работах автора [2-8] изучались нелокальные бифуркации рождения устойчивых замкнутых траекторий при . Здесь мы рассмотрим одну локальную бифуркацию рождения замкнутой траектории из положения равновесия на границе поверхности скользящих движений при . Поскольку рассматриваемая ситуация локальная, то можно считать, что фазовое пространство - замкнутый куб , а поверхность разрыва векторного поля - плоскость . Пусть , , , . Обозначим - банахово пространство -векторных полей на с -нормой (). Кусочно-гладким векторным полем класса на фазовом пространстве с разбиением назовем элемент банахова пространства . Траектории поля определим, согласно [9], как траектории дифференциального включения , где в точках , в точках , а в точках является выпуклой оболочкой векторов и . Для определим (устойчивую) поверхность скользящих движений - открытое подмножество в , в точках которого вектор направлен внутрь , а вектор направлен внутрь . На определим касательное векторное поле , взяв за единственный вектор из , касающийся . Траектории векторного поля являются дугами траекторий кусочно-гладкого векторного поля [9]. Рассмотрим однопараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей - -отображение . Так как отображения значений принадлежат классу , то и отображения принадлежат классу . Продолжим векторные поля до векторных полей , заданных на всем , так, чтобы , где - -функции на . На векторное поле наложим следующие условия. () . () Матрица линейной части векторного поля в особой точке имеет собственные значения и , , . Инвариантное подпространство , соответствующее собственным значениям , трансверсально . Вектор направлен внутрь . Сделав линейную замену координат, оставляющую инвариантной плоскость , и вернувшись к прежним обозначениям переменных, мы можем в дальнейшем считать, что задается уравнением , то есть при . Тогда - собственные значения матрицы и потому . Мы можем выбрать такие числа и , что для любого векторное поле имеет гиперболическое седло , , , с неустойчивым инвариантным многообразием, задаваемым уравнением , , где , , . Так как , , то и можно считать выбранным так, что для любого уравнение имеет решение , , где , . Перейдем к координатам , , , . В этих координатах , где - -функции, определенные на , если выбрано достаточно малым, , , , , , , , , . Так как - собственные значения матрицы , то существует такая матрица , что . В координатах имеем , где - -функции на при некотором , , , (1) , (2) , (3) где , . Отметим, что точки с координатой принадлежат , а с координатой принадлежат . Далее мы будем отождествлять точку с ее координатной строкой: . При достаточно малых и в окрестности : точки 0 на для любого определены векторные поля , , . (4) причем точки с координатой принадлежат и в этих точках , а в точках координатой векторы и направлены внутрь . Обозначим , . Из (1)-(4) получаем , (5) , (6) где , . Обозначим (7) - определитель матрицы линейной части поля в точке . Предположим, что выполняются следующие условия. () Матрица линейной части поля в точке имеет действительные собственные значения и такие, что . () . Замечание 1. Условия () и () будут, например, выполняться, если взять и так, чтобы , а - отрицательным и достаточно близким к нулю. Точка , , имеет координаты , где , . Потребуем выполнение условия (С) . Оно не зависит от произвола в выборе векторных полей . Теорема. Для семейства векторных полей , удовлетворяющего условиям , и , существует такое число , что 1) для всех векторное поле имеет положение равновесия , непрерывно зависящее от , причем при и устойчиво, и устойчиво, при и является седлом; 2) при векторное поле имеет орбитно устойчивую замкнутую траекторию , для которой топологический предел . Замечание 2. Таким образом, при изменении параметра положение равновесия теряет устойчивость и из него рождается устойчивая замкнутая траектория. Замечание 3. Можно показать, что кусочно-гладкие векторные поля , удовлетворяющие условиям и , образуют -подмногообразие коразмерности один в , а условие означает трансверсальность отображения этому подмногообразию в точке , то есть мы рассматриваем «типичные» семейства кусочно-гладких векторных полей. Доказательство теоремы. Из условия () следует, что , , . Без ограничения общности можно считать, что . Случай сводится к рассматриваемому заменой на . Так как , то и из равенства получаем . Без ограничения общности можно считать, что . (8) Тогда из (1) - (3) находим , . (9) Из (5) - (7) и (9) получаем, что система уравнений имеет единственное решение , где , , . (10) Так как , то можно выбрать так, что при . Поэтому при и точка с координатами , принадлежит . Собственные значения матрицы линейной части векторного поля в точке за счет выбора можно считать близкими к и , а потому отрицательными. Тем самым, - устойчивое положение равновесия поля , а потому и поля . Вследствие (8) мы можем считать, что при и потому точка и является неустойчивым положением равновесия - седлом поля . При точка является положением равновесия поля . Ее устойчивость будет доказана в конце статьи. Непрерывность , , очевидна. Пусть . Докажем утверждение 2) теоремы. Инвариантные подпространства, соответствующие собственным значениям , задаются уравнениями , где . (11) Ввиду условия () и неравенства имеем . Обозначим (рис. 1), , где , . (12) Далее мы уточним выбор и . Используя (10) и (11), получаем, что , где , . Рис. 1. Траектории поля в . Отсюда получаем, что и можно считать такими, что при , (13) и потому . Фиксируем такие и . Равенства (5) и (6) можно переписать в виде , (14) , (15) где - непрерывные функции, . Лемма 1. Числа и можно выбрать так, что во всех точках , , кроме точки . Доказательство. Из (15), используя (11) и (12), при достаточно малых и получаем в точках из . Лемма 2. Числа и можно выбрать так, что положительные полутраектории векторного поля , , начинающиеся в точках , из не выходят. Доказательство. Из (14), (15) и (11) получаем, что производная от в точке , , , границы по вектору равна , где - непрерывная функция, . При достаточно малых и она отрицательна. Из (14) видно, что в точках дуги , , границы при достаточно малых и имеем . Из этих результатов и из леммы 1 следует утверждение леммы 2. В силу лемм 1 и 2 положительная полутраектория векторного поля , начинающаяся в точке , выходит из трансверсально пересекая дугу в некоторой точке . Тем самым, определено -отображение . Пусть - решение системы уравнений , удовлетворяющее начальным условиям . Лемма 3. Число можно выбрать так, что при , уравнение имеет решение , где - непрерывная функция. При этом точка с координатами , , принадлежит , а для всех имеем . Доказательство. Из (1), (2), (8) и (9) получаем, что устойчивое локальное инвариантное многообразие векторного поля задается уравнениями , где , , (16) . (17) Ввиду (13), (16) и (17) и условия () можно считать выбранным столь малым, что для , при , (18) где , , , при , (19) при . (20) В координатах поле имеет вид , где - -функции, , а окрестность точки 0 на задается уравнением . Обозначим - множество, задаваемое в координатах неравенствами , , ,. В цилиндрических координатах , , (21) где - -функции, . Мы можем считать, что в точках , (22) . (23) Ввиду оценок (13) и (18) при достаточно малом . Возьмем точку . Ее координаты ,. Пусть цилиндрические координаты точки . Ввиду (18) можно считать . (24) Пусть - уравнение в цилиндрических координатах траектории поля , начинающейся в точке . При достаточно малом эти уравнения определены для . Из (22) следует, что при . Вследствие (21), (23) и (24) существует такое, что . Из (21) , (23) и (18) получаем . (25) При ввиду (21) и (22) и из (19) имеем . Теперь из (25) следует, что . (26) При из (25) и (20) также получаем (26). Из (26) следует, что . С другой стороны, при достаточно малом для из (3), (2) и леммы 1 имеем , , . Поэтому при достаточно малых . По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции существует такое, что , а для . Покажем, что . Так как , то существуют такие , что , при ,. Дифференцируя равенство , получаем . (27) Пусть . Из (19)-(21), учитывая, что и , , получаем . (28) Если , то, вследствие (19), (21) и (22), и первое слагаемое в (27) положительно, поэтому . Если , то из (19), (21), (22) и (13) . (29) Из (27)-(29) и условия () получаем, что . Итак, при . Следовательно, . Действительно, в противном случае , и потому при меньших , но достаточно близких к нему, в противоречие с определением . При и потому . Следовательно, . Но тогда и . Вследствие (21), (23) и (18) при . (30) Отсюда, из (18) вытекает, что можно считать выбранным так, что при , . Таким образом, . В точках векторное поле трансверсально . Поэтому - непрерывная функция. Лемма 3 доказана. В силу леммы 3 определено непрерывное отображение , . Рассмотрим непрерывное отображение . При любом отображение имеет устойчивую неподвижную точку с координатами . Через эту точку проходит орбитно устойчивая замкнутая траектория векторного поля , являющаяся объединением дуги : , траектории векторного поля и дуги траектории векторного поля . В силу (18) и (30) для точки максимальные значения стремятся к нулю при . Так как то из лемм 1 и 2 следует, что и для точки максимальные значения , стремятся к нулю при . В итоге имеем . Докажем теперь устойчивость положения равновесия 0 поля . Зададим число и рассмотрим окрестность точки , задаваемую в координатах неравенствами . В силу условия () существует положительно определенная квадратичная форма , производная от которой по направлению векторного поля отрицательна в некоторой окрестности особой точки 0. Возьмем столь малое , что указанная производная отрицательна на линии уровня , а множество точек из , в которых содержится в . Выберем столь малое число , что уравнение имеет единственное отрицательное решение . Из (5) видно, что можно считать столь малым, что производная от координаты по направлению векторного поля положительна в точках отрезка . Из (6) и неравенства следует, что можно взять столь малым, что производная от координаты по направлению векторного поля положительна в точках с координатами и отрицательна в точках с координатами . Пусть - множество точек из с координатами , для которых и либо , либо (рис. 2). Рис. 2. Множества , и . Положительные полутраектории поля , начинающиеся в точках , могут выйти из только в точках его границы с координатами . Обозначим - множество точек из с координатами , для которых . Множество является окрестностью точки в . Тогда - окрестность этой точки в . Ясно, что . Выберем положительные числа и так, чтобы . (31) Обозначим - окрестность, задаваемую в координатах неравенствами , . Если числа и достаточно малы, то , в имеют место оценки (22) и (23), , при , (32) . Из (17) получаем, что можно считать при . (33) Дуга : , задается в координатах уравнениями ,, . Из (32) следует, что она принадлежит окрестности . Для каждой точки или точки , отличной от точек дуги :, , существует такое число , что точки положительной полутраектории векторного поля , начинающейся в , соответствующие моментам времени , принадлежат . Пусть - уравнения в цилиндрических координатах. Если принадлежит устойчивому инвариантному многообразию седла , то ввиду (21) и (22) . Если не принадлежит устойчивому инвариантному многообразию седла, то вследствие оценок (22), (23) и (31) существуют такие числа и , что в моменты времени траектория не выходит из окрестности , и . Ввиду (33) точка , соответствующая моменту времени , принадлежит . Следовательно, пересекает в момент времени , причем дуга , соответствующая моментам времени , принадлежит , то есть является дугой траектории векторного поля . Положительные полутраектории поля , начинающиеся в точках , либо остаются в , либо выходят из в точках . Поэтому положительные полутраектории поля , начинающиеся в точках не выходят из и тем более из . Обозначим множество точек на отрицательных полутраекториях поля , начинающихся в точках и соответствующих моментам времени , . Так как замыкание компактно и содержится в , то можно выбрать так, чтобы . Тогда является окрестностью и содержится в , а положительные полутраектории поля , начинающиеся в точках , не выходят из . Тем самым, точка - устойчивое положение равновесия поля .

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.