О РОЖДЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ ОСОБОЙ ТОЧКИ КУСОЧНО-ГЛАДКОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Ройтенберг В.Ш.

Ярославский государственный технический университет


Номер: 7-1
Год: 2015
Страницы: 11-16
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

кусочно-гладкие векторные поля на плоскости, линии разрыва, особая точка, периодические траектории, бифуркационные многообразия, бифуркации, piecewise smooth planar vector field, lines of discontinuity, singular point, periodic orbit, bifurcation manifolds, bifurcations

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассматриваются кусочно-гладкие векторные поля на плоскости в окрестности особой точки на пересечении их линий разрыва. Описана бифуркация рождения периодической траектории.

Текст научной статьи

Динамические системы, задаваемые кусочно-гладкими векторными полями, используются в качестве математических моделей в релейных системах автоматического управления, в механических системах с сухим трением, в ряде биологических и экономических задач. Несомненный интерес представляет описание бифуркаций таких систем, особенно тех, при которых рождаются устойчивые периодические траектории - они соответствуют автоколебаниям. Бифуркации кусочно-гладких векторных полей исследуются в ряде работ, например, в книгах [1, 2], а также в статьях автора [3-7]. В настоящей работе рассматриваются кусочно-гладкие векторные поля на плоскости в окрестности особой точки «на стыке» линий разрыва векторных полей. Исследованию устойчивости такой точки посвящено много работ. Ссылки можно найти в [1, с. 192]. Необходимые и достаточные условия грубости точки даны в [8]. Мы опишем бифуркации негрубых векторных полей, образующих в банаховом пространстве кусочно-гладких векторных полей подмногообразие коразмерности один, при которых особая точка теряет устойчивость и из нее рождается устойчивая периодическая траектория малой амплитуды. В некотором смысле это аналог бифуркации сложного фокуса гладкого векторного поля. Подмножество является многообразием с углами, если для каждой точки его границы существует такие окрестность и -диффеоморфизм , , что или (- 1-угловая точка), или (- 2-угловая точка). Пусть - компактное многообразие с углами , - разбиение на компактные -многообразия с углами, пересекающимися между собой только по границам: , при . Кусочно-гладким векторным полем класса на многообразии с разбиением назовем элемент банахова пространства , где - банахово пространство векторных полей класса на с -нормой. Его можно отождествить с классом таких векторных полей , что в точках , . Векторные поля , вообще говоря, разрывные в точках . Траекториями векторного поля и соответствующих разрывных векторных полей следуя [1, с.95] будем называть траектории дифференциального включения , , где при и - выпуклая оболочка векторов ,…, при . Пусть точка . Без ограничения общности можно считать, что элементы разбиения пронумерованы так, что точка принадлежит только для , . Пусть точка является 1-угловой для и 2-угловой для , . Тогда . Мы можем считать нумерацию выбранной так, что в -координатах в некоторой окрестности точки , точка имеет координаты , задается неравенствами , , при и при является образом при -вложении , , , (рис.1). Тогда , для , а упорядоченная пара векторов положительно ориентирована. Рис. 1. Разбиение окрестности точки . Точку будем называть устойчивым (неустойчивым) сшитым фокусом векторного поля , если все его траектории, начинающиеся в точках достаточно малой проколотой окрестности , -предельны к , а связные компоненты их пересечения с являются замкнутыми дугами с концами, принадлежащими и при ( и при ). Пусть . В координатах , где и - -функции на . Предположим, что для поля выполняются условия (У1+) или (У1-): (У1+) Для любого обе пары векторов и положительно ориентированы, , , . ( У1-) Для любого обе пары векторов и отрицательно ориентированы, , , . Так как отображение значений принадлежит классу , то из условий (У1) и [9, с. 80-85] вытекает, что число и окрестность поля в , можно выбрать так, что для любого определены отображения , , по траекториям векторных полей , , при этом - функции класса на , , . При достаточно малых и на определена функция . Будем считать, что (У2) . Множество векторных полей, удовлетворяющих условиям (У1) и (У2), обозначим . Теорема 1. Множества и являются вложенными -подмногообразиями в коразмерности один. Доказательство. Пусть поле . Из условий (У1+) по теореме о неявной функции следует существование таких числа , окрестности поля и -функции , что , для и . Мы можем взять окрестность столь малой, что для всех , и . Поэтому . Пусть , где . Тогда и потому . Считая окрестность достаточно малой, будем иметь для любого . Отсюда и из равенства следует утверждение теоремы для множества . Случай сводится к рассмотренному переходом к полю . Теорема доказана. Так как для поля поле , то мы можем ограничиться описанием бифуркаций векторных полей из . Теорема 2. Пусть векторное поле и (). Тогда для любой окрестности точки существуют такие окрестность поля и окрестность точки , что (см. рис.2) 1) положительные (отрицательные) полутраектории векторного поля , начинающиеся в точках окрестности , не выходят из ; 2) при точка - устойчивый (неустойчивый) фокус поля , к которому -предельны остальные траектории, начинающиеся в ; 3) поле при () имеет устойчивую (неустойчивую) линейную особенность - дугу с концами в точках с координатами и , а все положительные (отрицательные) полутраектории, начинающиеся в , кончаются в точке ; 4) поле при () имеет в устойчивую (неустойчивую) периодическую траекторию, к которой -предельны остальные траектории, начинающиеся в , а также неустойчивую (устойчивую) линейную особенность - дугу с концами в точках с координатами и . Рис. 2. Бифуркации поля в окрестности точки ; , . Доказательство. Пусть . Случай рассматривается аналогично. Возьмем число , . Выберем число и окрестность поля так, чтобы при всех , . (1) Обозначим при и при . Согласно [1, с. 175-176] число и окрестность поля можно выбрать так, что для любого поля определено отображение , , по траекториям поля , причем , , . Уменьшив при необходимости и , мы можем считать, что для , , . (2) Так как , то . Следовательно, существует такая окрестность поля , что для всех . Рассмотрим функции последования по траекториям поля . При они определены на . Если , то , и уравнение имеет единственное решение . Поэтому при функции определены на . Из (1) и (2) следует, что точках области определения . (3) Из равенства и (3) получаем . Ввиду этого неравенства, считая достаточно малым, мы можем построить окрестность точки , ограниченную простой замкнутой кривой , пересекающей дугу в единственной точке , где , и потому , такую, что , , являются гладкими дугами, в точках которых поле трансверсально и направлено внутрь . Тогда для некоторой окрестности траектории поля , начинающиеся в точках , не выходят из и при всех . (4) При и . Отсюда и из (3) получаем при всех , (5) откуда и следует утверждение 2 теоремы. Из равенства и (3) вытекает, что неравенство (5) имеет место и при , . Обозначим . Во всех точках дуги вектор направлен внутрь , а вектор из . Если окрестность достаточно мала, то вектор из выпуклой оболочки векторов и , , касающийся дуги , сонаправлен с . Поэтому дуга - устойчивая линейная особенность [1], а все положительные полутраектории, начинающиеся в точках , входят в точку за конечное время. Положительные полутраектории, начинающиеся в точках , пересекают дугу . Положительные полутраектории, начинающиеся в точках дуги , вследствие (5) пересекаются с дугой . Так как для , то положительные полутраектории, начинающиеся в точках дуги , пересекаются с . Таким образом, все положительные полутраектории, начинающиеся в точках , входят в точку за конечное время. Утверждение 3 теоремы доказано. Пусть . Тогда и потому . Отсюда и из (3) -(4) следует, что существует такое , что при всех . Поэтому через точку проходит замкнутая траектория поля , к которой -предельны все траектории, начинающиеся в точках дуги , а потому и в любой точке . Ясно, что дуга - неустойчивая линейная особенность, а все отрицательные полутраектории, начинающиеся в ее точках, входят в точку за конечное время. Утверждение 4 теоремы доказано.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.