О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕСТЕПЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ Кожевникова Л.М.,Каримов Р.Х.,Хаджи А.А.

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета


Номер: 9-1
Год: 2015
Страницы: 13-17
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

анизотропное эллиптическое уравнение, нестепенные нелинейности, неограниченная область, пространство Соболева-Орлича, anisotropic elliptic equation, nonpower nonlinearity, unbounded domains, Sobolev-Orlich space

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Для некоторого класса анизотропных квазилинейных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями установлена экспоненциальная оценка, характеризующая поведение решения задачи Дирихле на бесконечности в неограниченных областях. На основе этой оценки доказано, что для областей, расширяющихся на бесконечности не слишком быстро, решение с нулевыми исходными данными будет тривиальным.

Текст научной статьи

Пусть - произвольная неограниченная область пространства , , . Для анизотропных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка рассматривается задача Дирихле Предполагается, что функции , , , , каратеодориевы и существуют измеримые неотрицательные функции , и положительные числа , такие, что для п.в. и , , справедливы неравенства: Считаем, что N-функции , ,…, и дополнительные к ним , ,…, удовлетворяют -условию. В работе [1] Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи для уравнения (1) с функциями, подчиняющимися условиям (3)-(5), доказано существование решений однородной задачи Дирихле в произвольных неограниченных областях. При дополнительных требованиях на структуру уравнения установлена единственность решения задачи (1), (2). Для линейного эллиптического уравнения второго порядка О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян в [2] получили априорные оценки решения краевой задачи, аналогичные оценкам, выражающим принцип Сен-Венана в теории упругости. В статье [3] А.А. Хаджи получена степенная оценка, характеризующая поведение решения задачи (1), (2) на бесконечности в неограниченных областях . Здесь для областей специального вида показано, что за счет геометрии неограниченной области можно добиться экспоненциального убывания решения на бесконечности. Приведем некоторые сведения из теории N-функций и пространств Соболева-Орлича [4]. Неотрицательная непрерывная выпуклая вниз функция , , называется N-функцией, если она четна и , . -функция называется дополнительной к -функции . -функция удовлетворяет -условию, если для любого числа существует такое число , что справедливо неравенство . (6) Для -функции известно неравенство Юнга , , (7) Кроме того, ввиду выпуклости и оценки (6), справедливо неравенство , . (8) Через обозначим пространство Орлича с нормой Люксембурга а - пространство вектор-функций с нормой . Определим пространство Соболева-Орлича как пополнение пространства по норме Положим , - пространства, состоящие из функций , определенных в , для которых при любой ограниченной области найдется функция из пространства , , соответственно, совпадающая с функцией в . Аналогичным образом определяется пространство . Определим оператор формулой: По элементу () для с ограниченным носителем определим функционал равенством: Определение 1. Обобщенным решением задачи (1), (2) с , будем называть функцию , удовлетворяющую интегральному тождеству (9) для любой функции с ограниченным носителем. Будем считать, что существует такое что выполнены условия , . (10) В работе [2] доказана Теорема 1. Пусть выполнены условия (3) - (5), (10), тогда существует обобщенное решение задачи (1), (2). Далее, приведем результаты для областей, расположенных вдоль выделенной оси (область лежит в полупространстве и сечение не пусто, связно и ограничено при любом ). Ниже будет использовано обозначение: , при этом значение опускается. C целью изучения поведения решения задачи (1), (2) при определим функции где . Положим , будем считать, что область удовлетворяет условию с некоторой константой Пусть существуют числа такие, что Теорема 2. Пусть область расположена вдоль оси и выполнены условия (3)-(5) c в , тогда обобщенное решение задачи в . Замечание 1. Пусть N-функции , ,…, подчиняются условиям (10), тогда , . (14) Лемма 1. Пусть N-функции , ,…, подчиняются условиям (10), тогда для N-функций , существуют числа , такие, что справедливы неравенства , , (16) Доказательства замечания 1 и леммы 1 см. в [1], а доказательство теоремы 2 основано на следующем утверждении. Утверждение 1. Пусть область расположена вдоль оси и выполнены условия (3)-(5), (10), (13). Тогда существуют положительные числа такие, что решение задачи (1), (2) при всех подчиняется оценке Доказательство. Возьмем произвольное , зафиксируем ( будет определено ниже). Пусть - абсолютно непрерывная функция, равная единице при , нулю при , линейная при и удовлетворяющая уравнению (18) (постоянную определим позднее). Решая это уравнение, находим Имеем Положим в (9) . Используя (18), (19) получим Далее, пользуясь (7) (), при помощи (4), (13) оценим первый интеграл Выберем теперь , а также так, чтобы , тогда, воспользовавшись определением (11) функций , получим Оценим интеграл . Применяя (7), для выводим Оценим интеграл . Поскольку имеют место соотношения (14), то справедливо представление N-функции в виде композиций двух -функций Далее, применяя (7), (8) устанавливаем где Далее, соединяя (22), (23), используя условие (4), выводим Выберем , в итоге получим Подставляя в (20) оценки (21), (26), применяя условие (3), выводим Оценим интеграл . Положим , тогда при , пользуясь выпуклостью функции , устанавливаем неравенство При справедливо неравенство , поэтому, применяя лемму 1, получим оценку Соединяя (27), (28) выводим (17). Доказательство теоремы 2. Полагая в (17) в и устремляя к бесконечности, заклчаем, что . Отсюда следует, что в , поэтому в .

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.