ДВУЗНАЧНАЯ СЕМАНТИКА ЛОГИКИ PCONT Попов В.М.

Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова


Номер: 1-1
Год: 2016
Страницы: 102-106
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

элементарная формула, PCont-оценка, PCont -означивание при заданной PCont-оценке, PCont-оценочное множество, elementary formula, PCont-valuation, PCont-denotation under the given PCont-valuation, PCont-valuation set

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Здесь построена двузначная семантика определяемого ниже пропозиционального языка L, адекватная одной из наиболее активно изучаемых паралогик - логике PCont из [2]. Сконструированная семантика оперирует простыми и интуитивно прозрачными семантическими понятиями, а вычисление значений формул в данной семантике не вызывает затруднений.

Текст научной статьи

Предлагаемая Вашему вниманию работа относится к исследованиям паралогик, то есть к исследованиям таких логик, которые являются паранепротиворечивыми или/и параполными логиками (термины «паранепротиворечивая логика» и «параполная логика» используются здесь в смысле работы [1]). Центральный персонаж работы - паранепротиворечивая, но не параполная, логика PCont из [2], которая наделяется двузначной семантикой. Язык L есть стандартный пропозициональный язык, алфавиту которого принадлежат все следующие символы и только они: &, Ú, É (бинарные логические связки языка L), Ø (унарная логическая связка языка L) ) и ( (технические символы языка L), p1, p2, p3,… (пропозициональные переменные языка L). Определение L-формулы индуктивно: (1) всякая пропозициональная переменная есть L-формула, (2) если A и B являются L-формулами, то (A&B), (AÚB), (AÉB) и (ØA) являются L-формулами, (3) ничто другое L-формулой не является. Логикой называем непустое множество L-формул, замкнутое относительно правила подстановки в L и правила модус поненс в L. Следуя духу, но не букве, работы [2], определим исчисление HPCont гильбертовского типа, которое аксиоматизирует интересующую нас логику PCont (в [2] «PCont» используется для обозначения исчисления, но не логики, а в рамках предлагаемой статьи целесообразно различать исчисление HPCont и аксиоматизируемую им логику PCont). Язык исчисления HPCont есть L. Множество всех аксиом этого исчисления есть, множество всех тех и только тех L-формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих девятнадцати видов (здесь A, B и C - L-формулы): (I) ((AÉB)É((BÉC)É(AÉC))), (II) (AÉ(AÚB)), (III) (AÉ(BÚA)), (IV) ((AÉC)É((BÉC)É((AÚB)ÉC))), (V) ((A&B)ÉA), (VI) ((A&B)ÉB), (VII) ((CÉA)É((CÉB)É(CÉ(A&B)))), (VIII) ((AÉ(BÉC))É((A&B)ÉC)), (IX) (((A&B)ÉC)É(AÉ(BÉC))), (X) (((AÉB)ÉA)ÉA), (XI) ((Ø(AÚB))É((ØA)&(ØB))), (XII) (((ØA)&(ØB))É(Ø(AÚB))), (XIII) ((Ø(A&B))É((ØA)Ú(ØB))), (XIV) (((ØA)Ú(ØB))É(Ø(A&B))), (XV) ((Ø(AÉB))É((ØA)&B)), (XVI) (((ØA)&B)É(Ø(AÉB))), (XVII) ((Ø(ØA))ÉA), (XVIII) (AÉ(Ø(ØA))), (XIX) (AÚ(ØA)). Исчисление HPCont имеет единственное правило вывода - правило модус поненс в L. Вспомним, что правило модус поненс в L - это множество всех упорядоченных троек вида , где A и B - L-формулы, а применение правила модус поненс в L - это элемент данного правила. Определение 1: α называем HPCont-выводом длины n (n - целое положительное число) из множества Γ L-формул L-формулы A, если существуют такие L-формулы A1,…, An, что α есть n-членная последовательность L-формул, первый член которой есть A1,…, n-ный член которой есть An , An есть A, и для всякого целого положительного числа i, которое меньше или равно n, выполняется следующее условие: Ai принадлежит множеству Γ, или Ai есть аксиома исчисления HPCont, или существуют такие целые положительные числа k и l, которые строго меньше i, что есть применение правила модус поненс в L. Определение 2: α является HPCont-выводом из множества Γ L-формул L-формулы A, если существует такое целое положительное число n, что α есть HPCont-вывод длины n из множества Γ L-формул L-формулы A.Определение 3: L-формула A HPCont-выводима из множества Γ L-формул, если существует HPCont-вывод из множества Γ L-формул L-формулы A. Определение 4: L-формула A HPCont-доказуема, если существует HPCont-вывод из пустого множества L-формул L-формулы A. Определяем PCont как множество всех HPCont-доказуемых L-формул. Можно доказать, что PCont является логикой. Элементарной L-формулой называем L-формулу, которая является пропозициональной переменной языка L или имеет вид ((Øq)), где q есть пропозициональная переменная языка L. Называем PCont-оценкой такое отображение v множества всех элементарных L-формул во множество {0,1}, что для всякой пропозициональной переменной p языка L верно следующее: если v(p)=0, то v((Øp))=1. Называем PCont-означиванием при PCont-оценке v такое отображение f множества всех L-формул во множество {0,1}, что для всякой пропозициональной переменной p языка L и всяких L-формул A и B выполняются условия: (1) f(p)= v(p), (2) f((Øp))= v((Øp)), (3) f((A&B))=1тогда и только тогда, когда f(A)=1 и f(B)=1, (4) f((AÚB))=1тогда и только тогда, когда f(A)=1 или f(B)=1, (5) f((AÉB))=1тогда и только тогда, когда f(A)=0 или f(B)=1, (6) f((Ø (A&B)))=1тогда и только тогда, когда f((ØA))=1 или f((ØB))=1, (7) f((Ø (AÚB)))=1тогда и только тогда, когда f((ØA))=1 и f((ØB))=1, (8) f((Ø (AÉB)))=1тогда и только тогда, когда f(A)=1 и f((ØB))=1, (9) f((Ø (ØA)))=1тогда и только тогда, когда f(A)=1. Можно доказать, что для всякой PCont-оценки существует единственное PCont- означивание при этой PCont-оценке. PCont-означивание при PCont-оценке v обозначаем через φv. Определение 5: PCont-общезначимой L-формулой является такая L формула A, что для всякой PCont-оценки v φv(A)=1. Определение 6: L-формула A PCont-следует из множества Γ L-формул, если для всякой PCont-оценки v верно следующее: если для всякой L-формулы B из Γ φv(B)=1, то φv(A)=1. Лемма 0. Для всякой L-формулы A и для всякой PCont-оценки v: если φv(A)=0,то φv((ØA))=1. Лемма 0 доказана индукцией по длине L-формулы. Лемма 1. Всякая аксиома исчисления HPCont является PCont-общезначимой L-формулой. Доказательство леммы 1 сводится к рутинной проверке того, что если L-формула имеет хотя бы один из указанных выше видов (I) - (XVIII), то она является PCont-общезначимой L-формулой, и к доказательству с помощью леммы 0 PCont-общезначимости любой L-формулы вида (XIX). В свете леммы 1 и определений 5 и 6 очевидна следующая лемма 2. Лемма 2. Для всякого множества Γ L-формул и для всякой аксиомы A исчисления HPCont верно, что A PCont-следует из Γ. Доказательство нижеследующей леммы 3 легко провести методом от противного, используя определение PCont-означивания при заданной PCont-оценке и определение 6. Лемма 3. Для всякого множества Γ L-формул и для всяких L-формул A и B: если A PCont-следует из Γ и (AÉB) PCont-следует из Γ, то B PCont-следует из Γ. Лемма 4. Для всякого множества Γ L-формул, для всякого целого положительного числа n и для всяких L-формул A1,…, An : если для всякого целого положительного числа i, которое меньше или равно n, верно, что Ai принадлежит множеству Γ , или Ai есть аксиома исчисления HPCont, или существуют строго меньшие i целые положительные числа k и l, для которых упорядоченная тройка есть применение правила модус поненс в L, то An PCont-следует из Γ. Простое доказательство леммы 4 можно провести методом возвратной индукции, опираясь на леммы 2 и 3. Опираясь на лемму 4 и определения 1, 2 и 3, легко доказать следующую теорему 1. Теорема 1. Для всякого множества Γ L-формул и для всякой L-формулы A: если A HPCont-выводима из Γ , то A PCont-следует из Γ. Теперь нам потребуется еще одно определение. PCont-оценочным множеством называем множество Γ L-формул, удовлетворяющее следующим условиям: (1) для всяких L-формул A и B: (A&B) принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству Γ и B принадлежит множеству Γ, (2) для всяких L-формул A и B: (AÚB) принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству Γ или B принадлежит множеству Γ, (3) для всяких L-формул A и B: (AÉB) принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда A не принадлежит множеству Γ или B принадлежит множеству Γ, (4) для всяких L-формул A и B: (Ø(A&B)) принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда (ØA) принадлежит множеству Γ или (ØB) принадлежит множеству Γ, (5) для всяких L-формул A и B: (Ø(AÚB)) принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда (ØA) принадлежит множеству Γ и (ØB) принадлежит множеству Γ, (6) для всяких L-формул A и B: (Ø(AÉB)) принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству Γ и (ØB) принадлежит множеству Γ, (7) для всякой L-формулы A: (Ø(ØA)) принадлежит множеству Γ тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству Γ. Лемма 5. Для всякого множества Γ L-формул и для всякой L-формулы A: если неверно, что A HPCont-выводима из Γ, то существует такое PCont-оценочное множество Δ, что Γ включается в Δ и при этом неверно, что A HPCont-выводима из Δ. Доказательство леммы 5 начинаем с допущения о том, что K есть множество L-формул и F есть L-формула, удовлетворяющие условию: неверно, что F HPCont-выводима из K. Затем, используя лемму Цорна, показываем, что во множестве {Σ|Σ есть множество L-формул, K включается в Σ и неверно, что F HPCont-выводима из Σ}, упорядоченном отношением теоретико-множественного включения, имеется максимальный элемент. Далее, зафиксировав произвольный максимальный элемент M указанного множества, показываем, что M является PCont-оценочным множеством. Отсюда, учитывая, что K включается в M и неверно, что F HPCont-выводима из M, заключаем, что существует такое PCont-оценочное множество Δ, что K включается в Δ и неверно, что F HPCont-выводима из Δ. Доказательство леммы 5 завершаем снятием первоначального допущения и соответствующим обобщением. Лемма 6. Для всякого PCont-оценочного множества Γ существует такая PCont-оценка v, что для всякой L-формулы A верно следующее: φv(A)=1 тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству Γ. Доказательство леммы 6 начинаем с допущения, что K есть произвольное PCont-оценочное множество и w есть множество {| x есть элементарная L-формула, y принадлежит множеству {0,1}, (y=1 тогда и только тогда, когда x принадлежит множеству K)}. Затем, заметив, что w есть PCont-оценка, доказываем возвратной индукцией по длине L-формулы утверждение , гласящее, что для всякого целого неотрицательного числа n и для всякой L-формулы A длины n верно следующее: φw(A)=1 тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству K. Опираясь на это утверждение, приходим к выводу, что для всякой L-формулы A: φw(A)=1 тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству K. Используя данный вывод и тот факт, что w есть PCont-оценка, получаем, что существует такая PCont-оценка v, что для всякой L-формулы A верно следующее: φv(A)=1 тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству K. Доказательство леммы 6 завершаем снятием первоначального допущения и соответствующим обобщением. Теорема 2. Для всякого множества Γ и для всякой L-формулы A: если A PCont-следует из Γ, то A HPCont-выводима из Γ. Докажем теорему 2. (1) K есть множество L-формул (допущение). (2) F есть L-формула (допущение). (3) F PCont-следует из K (допущение). (4) Неверно, что F HPCont-выводима из K (допущение). (5) Существует такое PCont-оценочное множество Δ, что K включается в Δ и неверно, что F HPCont-выводима из Δ (из (1), (2) и (4), по лемме 5). Пусть (6) Δ0 есть PCont-оценочное множество, K включается в Δ0 и неверно, что F HPCont-выводима из Δ0. (7) Δ0 есть PCont-оценочное множество (из (6)). (8) Существует такая PCont-оценка v, что для всякой L-формулы A верно следующее: φv(A)=1 тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству Δ0 (из (7), по лемме 6). Пусть (9) w есть PCont-оценка и для всякой L-формулы A верно следующее: φw(A)=1 тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству Δ0. (10) K включается в Δ0 (из (6)). (11) Для всякой A из K верно, что φw(A)=1 (из (9) и (10)). Ясно, что (12) для всякого множества L-формул Γ и для всякой формулы A из Γ верно, что A HPCont-выводима из Γ. (13) Неверно, что F HPCont-выводима из Δ0 (из (6)). (14) Δ0 есть множество L-формул (из (7), по определению PCont-оценочного множества). (15) F не принадлежит множеству Δ0 (из (2), (12), (13) и (14)). (16) Для всякой L-формулы A верно следующее: φw(A)=1 тогда и только тогда, когда A принадлежит множеству Δ0 (из (9)). (17) Неверно, что φw(F)=1 (из (2), (15) и (16)). (18) Для всякой PCont-оценки v верно следующее: если для всякой L-формулы B из K φv(B)=1, то φv(A)=1 (из (3), по определению 6). (19) w есть PCont-оценка (из (9)). (20) Если для всякой L-формулы B из K φw(B)=1, то φw(A)=1 (из (18) и (19)). (21) φw(F)=1 (из (11) и (20)). Утверждение (21) противоречит утверждению (17). Следовательно, неверно допущение (4). Итак, (22) F HPCont-выводима из K. Завершаем доказательство теоремы 2, снимая допущения (1), (2) и (3) и обобщая. Из теорем 1 и 2 вытекает следующая теорема 3. Теорема 3. Для всякого множества Γ L-формул и для всякой L-формулы A: A HPCont-выводима из Γ тогда и только тогда, когда A PCont-следует из Γ. Учитывая, что множество всех PCont-общезначимых L-формул равно множеству всех L-формул, PCont-следующих из пустого множества, и опираясь на теорему 3 и определения, получаем, что верна следующая теорема 4. Теорема 4. Для всякой L-формулы A: A HPCont-доказуема тогда и только тогда, когда A PCont-общезначима. Из теоремы 4 и того, что PCont есть логика, равная множеству всех HPCont-доказуемых L-формул, вытекает следующая теорема 5 о семантической характеризации (в терминах построенной двузначной семантики) логики PCont. Теорема 5. Для всякой L-формулы A: A принадлежит логике PCont тогда и только тогда, когда A PCont-общезначима.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.