КЛАСС ФУНКЦИЙ МОКАНУ В ПРОСТРАНСТВЕ C ^ , n ≥ 2 Султыгов М.Д.

Ингушский государственный университет


Номер: 1-1
Год: 2016
Страницы: 22-25
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Звездно однолистные функции, порядок, изоморфизм, интегральные представления, класс функций Мокану с порядком, оценка модуля функции, оценка модуля оператора функции, точность оценок на множествах, экстремальная функция, Star of univalent functions, procedures, isomorphism, integral representations of functions of the class of Mocanu with the procedure, evaluation function module, the rating module operator's function, the accuracy of estimates on sets, extremal function

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассматриваются вложения классов функций, изоморфизм, критерий принадлежности голоморфной функции к классу функций Мокану с порядком. Приводится двусторонняя оценка модуля функции и модуля оператора функции и усиленные оценки этих функционалов на некоторых подмножествах пространства многих комплексных переменных. Построены экстремальные функции, достигающие точность полученных оценок на подмножествах пространства многих комплексных переменных.

Текст научной статьи

Обозначим через , , [1, 178] пространство всех голоморфных функций , удовлетворяющих условиям: , и функция - звездна порядка в и, , . (А) Теорема 1.1. При , имеют место вложения . Теорема 1.2. Пусть . Если , то функция (1.1) также принадлежит классу при всех . Степенная функция, фигурирующая в (1.1), понимается в смысле главного значения. Доказательство. Предположим, что . Тогда функция, определенная формулой (1.1), является голоморфной в и . Убедимся в том, что функция (1.1), удовлетворяет в условию (А). В самом деле, и . Отсюда в силу того, что . Следовательно, , а тогда по теореме (1.1) . Теорема 1.3. Пусть функция. Тогда при , она принадлежит классу в области , где и- есть корень уравнения . (1.2) Доказательство. Рассмотрим в классе задачу об оценке снизу функционала . (1.3) Положим (1.4) Так как , то функция голоморфна в и . Легко видеть, что с помощью (1.4) устанавливается взаимно-однозначное соответствие между классами и . Используя (1.4), функционал (1.3) запишем в виде . (1.5) Для нахождения точной нижней границы этой величины в классе воспользуемся оценками [2, 52]. Имеем (1.6) Простые вычисления показывают, что последняя фигурная скобка в (1.6) положительна в интервале только при , где - единственный корень уравнения (1.2). Отсюда и из выводим, что правая часть в (1.6) положительна при . Это вместе с (1.6) доказывает справедливость неравенства в области , . Пример функции , для которой величина обращается в нуль на множестве , показывает, что число является наибольшим, при котором функции являются функциями класса . Теорема 1.4. Пусть , . Функция тогда и только тогда, когда существует функция такая, что , (1.7) где для степенной функции взято главное значение. Теорема 1.5. Пусть , , тогда в , , справедливы следующие оценки: , (1.13) , (1.14) где (1.15) , (1.16) а - гипергеометрическая функция Гаусса. Следствие 1.1.[3, 38]. Если , то в имеем: , (1.19) . (1.20) Точность этих оценок в случае области достигается функцией , (1.21) где . Эти же оценки в случае области , на множестве (1.17) также точны. Они достигаются функцией вида (1.21), в которой . Следствие 1.2.Если , то в справедливы неравенства: , . Точность этих оценок на множестве реализуется функцией вида (1.21), где . Следствие 1.3. Если функция , то ее коэффициенты Тейлора удовлетворяют неравенствам [4, 30] , . (1.22) Теорема 1.6. Если , , , то для любой точки в справедливы оценки: , (1.23) (1.24) где , . Следствие 1.4. Для функций , , в имеют место оценки: . Следствие 1.5. Если функция , , , то в , . Следствие 1.6. Пусть функция , тогда в справедливы неравенства . Следствие 1.7. Для функции в имеем оценку . Следствие 1.8. Если функция , то в Следствие 1.9. Если функция, , то в .

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.