МЕТОД ПЕРЕНОСА В РЕШЕНИИ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ Магасумов Г.С.

Северо-Восточный государственный университет


Номер: 11-1
Год: 2016
Страницы: 27-35
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

сечение, позиционная задача, метод параллельного переноса прямых и плоскостей , section, positional task, method of parallel traces lines and planes

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Метод переноса в решении позиционных задач является одним из основных методов построения сечений многогранников плоскостями. В данной статье раскрывается содержание метода переноса прямых и плоскостей при построении сечений, даются примеры решения таких задач.

Текст научной статьи

Введение Из курса геометрии известны метод следов и метод внутреннего проектирования построения сечений многогранников и круглых тел плоскостями [1; c.121]. Дополним данные методы методом параллельного переноса прямых и плоскостей и приведём ряд примеров решения позиционных задач методом параллельного переноса прямых и плоскостей. Метод параллельного переноса прямых и плоскостей В основу данного приёма положены свойства и признаки параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В частности, теоремы. 1. Если а || a, то в плоскости a. существует прямая b, параллельная а. 2. Через точку пространства можно провести единственную плоскость, параллельную данной плоскости. 3. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны. 4. Если плоскость β проходит через прямую а, параллельную плоскости a, и пересекает ее по прямой b, то a || b. 5. Признак параллельности прямой и плоскости ((а || b, bÎa) →а ║a). 6. Признак параллельности двух плоскостей. 7. Каковы бы ни были скрещивающиеся прямые а и b, существует единственная пара параллельных плоскостей a и β, в которой они соответственно лежат. Метод параллельного переноса прямых и плоскостей применяется в тех случаях, когда секущая плоскость a задана как плоскость, проходящая через данную точку М параллельно двум скрещивающимся прямым а и b, или через данную прямую а параллельно скрещивающейся с ней прямой b, или через данную точку М параллельно данной плоскости β. Суть метода параллельного переноса прямых заключается в том, что в секущей плоскости проводят прямую, параллельную данной прямой. При этом очень часто приходится проводить вспомогательную плоскость, параллельную той, в которой находится данная прямая. Суть метода параллельного переноса плоскостей состоит также и в том, что удобно первоначально построить дополнительную плоскость β, параллельную искомой плоскости a. Затем, используя теорему 3 из перечисленных выше, строят сечение плоскостью α. Примеры решения задач методом параллельного переноса Рассмотрим позиционные задачи на применение метода переноса прямых и плоскостей. Задача 1. АВСDA1B1C1D1- параллелепипед. МÎА1B1 и NÎBC. Построить сечение α, проходящее через CM параллельно AN . Построение. 1) СW║AN, WÎAD, 2) CW ∩BA=F, 3) FM ∩ AA1=T, 4) MK║AN, KÎB1C1, 5) α=TMKCW - искомое сечение. Доказательство. 1) C Îα, M Î α Þ CM Î α, 2) α ' CW, СW║AN Þ α║AN. Задача 2. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. MÎAD, NÎAA1, KÎB1C1.Построить сечение α через K параллельно B1N и CM. Построение. 1) KT ║CM (так как ABCD║ A1B1C1D1), T Î A1D1, 2) KP║B1N, NP║B1C1, то есть B1NPK - параллелограмм, P Î α, 3) TP∩DD1 =E, 4) KR║TE, R Î CC1, KTPER - искомое сечение. Доказательство. 1) α 'K, 2) KT Îα, KT║CM Þ α║CM, 3) KP Îα, KP║B1N Þ α║B1N. Задача 3. ABCA1B1C1 - треугольная призма. MÎAA1, QÎA1B1C1. Построить сечение α, проходящее через BM параллельно прямой B1Q. Построение. 1) BP║B1Q ,P Î AC, 2) α=MBP - искомое сечение. Задача 4. ABCA1B1C1 - треугольная призма. MÎAA1, NÎABC. Построить сечение α, проходящее через прямую BM параллельно прямой B1N. Построение. 1) AN ∩BC=K, 2) AB1∩BM=T, 3) TT1║B1N , T1Î AK, 4) BT1∩AC =M2, 5) α=M2MB - искомое сечение. Доказательство. 1) α 'BM, 2) ТТ1Îα, ТТ1║ B1N Þ α║B1N. Задача 5. На ребрах BB1, CD, DD1 призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки M,N,K . Построить сечение α, проходящее через MN параллельно AK. Построение. 1) BB1T1T║ AA1D1D, 2) ML║AK, LÎ B1T1, [по построению LÎ α] 3) Зная точки M'(M,В), L'(L,L1), N'(N,N), строим след плоскости (MLN): LM∩L1B=X, XN=l - след, 4) AB∩l=Y, YM∩ A1B1=Z, 5) ZL∩C1D1=Q, 6) l∩BC=S, 7) α = MZLQNS - искомое сечение. Доказательство. 1) MÎα, NÎα, 2) LÎα, MLÎα, ML║ AK Þ α║ AK. Задача 6. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед. MÎA1C1, NÎBB1, KÎDD1. Построить сечение α, проходящее через точку N параллельно прямым MD1 и AK. Построение. 1) BK1║AK, K1ÎCC1, 2) NN1║BK 1, N1ÎB1C1, [по построению N1Î α] 3) A2D1║AK, A2ÎAA1, D1M∩A1B1=F0, [A2F0D 1║ α ] 4) NN2║A2F0, [N2Î α] 5) N2N3║AK, N3ÎDD1, [N3Î α] 6) N3N4║NN2, N4ÎC1D1, [N4Î α] 7) α =NN1 N4N3N2 - искомое сечение. Доказательство. 1) α'N; 2) NN1Îα, NN1║BK1 ║AK Þ α║AK; 3) MD1ÎA2F0D1, A2F0D1║ α Þ α║MD1. Задача 7. SABC - тетраэдр. MÎAB, NÎSC, KÎSA. Построить сечение: A) через прямую MN параллельно CK; B) через CK параллельно MN . Построение. А) 1) NN1║KC в плоскости ASC, N1ÎAS, 2) N1N ∩AC =N2 в плоскости ASC, 3) N2M ∩CB =N3 в плоскости ABC, 4) MN1NN3 - искомое сечение α. Доказательство. 1) CK║ NN1, NN1 Î α Þ CK║α, 2) MÎN2N3Îα Þ MÎα, 3) NÎN1N2Îα Þ NÎα. В) 1) NN1║KC, N1ÎAS, 2) N1N ∩AC =N2, 3) N2M ∩BC = N3, 4) CC1║MN3, C1ÎAB, 5) KC1C - искомое сечение. Доказательство. 1) Пусть α = KCC1, β = N1MN2, NN1N2, N1N2bÞNÎb, 2) KC║NN1, CC1║MN2Þa║b, 3) NÎb, МÎb ÞMNbÞMN ║a, 4) a - искомая плоскость, так как CKÎa, MN ║a. Задача 8. На ребрах BC, AC, CC1 призмы ABCA1B1C1 - заданы соответственно точки P, Q, R, на ребрах AB, B1C1 - точки M, N. На отрезке MN задана точка K. Построить сечение через точку K параллельно плоскости PQR. Построение. 1) MC∩QP =M1, 2) CN ∩PR =N1, 3) KK1║M1N1 , K1ÎNC, 4) K2K3 ║PR, K2ÎB1C1, K3ÎB1B, 5) K2K3∩CC1=K4, 6) K5K6║QR, K4 Î K5K6, K5ÎC1A1, K6ÎАA1, 7) K3K2K5K6 - искомое сечение. Задача 9. На ребрах AA1, CC1, BB1 призмы ABCA1B1C1 заданы соответственно точки M, N, K. Построить сечение через точку M параллельно AK и BN. Построение. 1) MM2║AK, M2ÎBB1, 2) M2M3║BN, M3Î B1C1, 3) KB2║BN, B2ÎCC1, 4) MM1║AB2, M1ÎA1C1, 5) α = MM2M3M1 - искомое сечение. Доказательство. 1) α'M, 2) MM2Îα, MM2║AK Þ α║AK, 3) M2M3Îα, M2M3║BN Þ α║BN. Задача 10. ABCDA1B1C1D1 - куб . MÎAD, NÎAA1, KÎB1C1 . Построить сечение через точку K параллельно прямым B1N и CM . Построение. 1) KL1LT ║ A1B1BA, KX║B1N , ХÎLL1, X Î сечению, 2) KY ║CM , YÎA1D1 , Y Î сечению, 3) KK1║YX , K 1ÎCC1, 4) YX ∩AD = K3 , 5) K2K3║MC, K2ÎCD, 6) KK1K2K3 XY - искомое сечение. Доказательство. 1) α'K, 2) KXÎα, KX║B1N Þ α║B1N, 3) KYÎα, KY║CM Þ α║CM. Задача 11. SABC - тетраэдр . KÎSC, MÎABC, NÎACS. Построить сечение через точку K параллельно прямым AB и MN. Построение. 1) M1M2║AB через точку M, M2ÎAC, M1ÎВC, 2) M2N∩SC = N1, N1ÎSC, 3) M1N1, 4) KK1║M2N1 , K1ÎAC, 5) KK2║N1M1, K2ÎBC, 6) K1K2K - искомое сечение. Доказательство. 1) α=M2N1M1, M2M1α, α ║AB, Nα, Mα Þ α 'MN. 2) β = KK1K2, KK1║N1M2, KK2║N1M1 , следовательно, β║α. 3) β 'K, β║AB, β║MN.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.