КОНЕЧНОМЕРНЫЙ РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ ОПЕРАТОР ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Саадабаев А.С.,Абдылдаева А.Р.

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына


Номер: 11-1
Год: 2016
Страницы: 41-43
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

нелинейное операторное уравнение, конечномерный регуляризирующий оператор, linear operator equation, finite regularizing operator

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Линейное операторное уравнение первого рода и его устойчивые методы решения впервые рассмотрены в работе Лаврентьева М.М. [1]. В этой статье для широкого класса нелинейного операторного уравнения I -го рода в Гильбертовом пространстве построен конечномерный регуляризирующий оператор. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению исходного уравнения. Получена оценка между построенным приближенным решением и точным решением исходного уравнения.

Текст научной статьи

Рассмотрим нелинейное операторное уравнения первого рода вида где - линейный вполне непрерывный самосопряженный положительный оператор в Гильбертовом пространстве , - нелинейный оператор, определенный в. Известно, что решение уравнения (1) не является устойчивым от элемента и оператора . Предположим, что при уравнение имеет единственное решение . В практических задачах вместо элемента известен элемент , удовлетворяющий неравенству Определение. Элемент называется приближенным решением уравнения (1) при , если при по норме пространства . Для построения приближенного решения в бесконечномерном пространстве, следуя работе [1], наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение второго рода вида где - малый параметр. Известно из [2], что существуют ортонормированные собственные элементы оператора , соответствующие собственным значениям , причем при . Используя это, обращая оператор , от уравнения (3) переходим к следующему нелинейному уравнению где - коэффициенты Фурье элемента . Решение уравнения (3) при обозначим через . Оно является решением нелинейного уравнения Элемент удовлетворяет тождеству Из (5) вычитая (6), получаем Учитывая тождество получаем Подставляя это в (7), приходим к тождеству Допустим, что точное решение истокообразно представимо в виде Первое слагаемое в (8) оцениваем следующим образом Рассмотрим функцию Легко видеть, что точка является критической точкой. В этой точке функция принимает максимальное значение и это значение равно Учитывая (12), из (10) получаем Используя эту оценку, из (8) получаем оценку Отсюда где . Из этой оценки следует, что при по норме пространства . Доказана Теорема 1. Пусть: 1) - вполне непрерывный линейный самосопряженный положительный оператор; 2) - нелинейный оператор, определенный в и представим в виде , где - нелинейный оператор, удовлетворяющий условию Липшица, причем ; 3) при уравнение (1) имеет единственное решение , представимое в виде Тогда решение уравнения (3) при сходится к точному решению уравнения (1) при по норме пространства , причем скорость сходимости удовлетворяет неравенству (14). Рассмотрим конечную сумму Вычитая из (15) точное решение уравнения (1), получим Отсюда Учитывая, что , получим Переходя к норме в (16), имеем Отсюда Если , то получим оценку Доказана Теорема 2. Пусть: 1) выполняются все условия теоремы 1; 2) . Тогда при и имеет место неравенство

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.