ПОРЯДКОВАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ МЕТОДА ТИХОНОВА А.Н. В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Калашников А.Л.

Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского


Номер: 2-1
Год: 2016
Страницы: 20-21
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

оптимальное управление, регуляризация, порядковая сходимость, optimal control, regularization, ordinal convergence

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассматривается задача оптимального управления в KB-линеале с единицей. По методу Тихонова А.Н. определяется регуляризирующая последовательность. Приводятся условия её порядковой сходимости к оптимальному множеству управлений в KB-линеале ограниченных элементов .

Текст научной статьи

В статье рассматривается задача минимизации функционала при операторном и функциональных ограничениях на состояние и управление , где пространство управлений является KB-линеалом с единицей . К подобному приводят задачи оптимального управления, в которых пространство управлений является и полуупорядоченным банаховым пространством. Так оптимальное управление динамической системы с интегральными ограничениями и интегральным целевым функционалом при , а есть . По [1,199] в KB-линеале с единицей можно ввести KB- линеал e-ограниченных элементов и из сходимости в следует сходимость в к тому же пределу, что означает более сильную метрику в , чем в . Если для оптимального множества управлений исходной задачи будет , то можно строить минимизирующие последовательности, сходящиеся ко множеству в метрике , а задачу оптимизации рассматривать в . Так при КВ-линеал и сходимость в будет почти всюду равномерная. Но при замене пространства на возникает вопрос о корректности исходной задачи оптимизации в . Это связано с тем, что хотя в корректность имеет место, но в более "узком" пространстве она отсутствует [2,622]. Например, такое будет, если в задача оптимизации некорректна [2.617]. Для решения некорректных задач разработаны методы регуляризации [2,625] и в статье для метода Тихонова А.Н. приведены условия порядковой сходимости в регуляризирующей последовательности, а также e-ограниченности оптимальных управлений. Отметим, что такая усиленная (в порядковом смысле) регуляризация, получена без стабилизатора, определённого в [2,632]. 1. Рассматривается 0-задача: где операция и - банаховы пространства, а является KB-линеалом с единицей . Функционалы и класса на . Далее, назовём пространством управлений, а пространством состояний. Пусть для всех уравнение имеет единственное решение класса . Такое, в частности, будет при выполнении условий известной теоремы о существовании неявной функции в банаховом пространстве. Тогда 0-задача сводится к задаче минимизации с ограничениями при . Очевидно, для класса на . Предположим, также, что , где - допустимое множество управлений в 0-задаче и существует некоторое множество , для которого . Например, может быть получено по одному из неравенств . Введём ─ множество оптимальных управлений в 0-задаче и пусть . Достаточные условия этого имеются, например, в [2,502]. Очевидно, при оптимальное состояние и . Исходная 0-задача может быть некорректна в пространстве или в подпространстве при наличии дополнительной информации об оптимальном управлении, в частности, при его ограниченности. Применим здесь метод регуляризации Тихонова А.Н. [2,639] с при и , где функционал класса на , а числовая последовательность . Введём -задачи: Пусть для , где , - некоторые функционалы класса на . Предположим, также, что сопряженное пространство является KB-линеалом с единицей . Введём - KB-линеал a-ограниченных элементов в . Обозначим - норму в , а - норму в . По [1, 199] из сходимости в следует сходимость в к тому же пределу и аналогичное для . Поэтому , с непрерывные в будут непрерывны и в . Обозначим модуль элемента , а = inf в 0-задаче и - подпоследовательность для . Введем , где и . Лемма. Пусть и компактна в , а любая её предельная точка . Тогда = 0. Доказательство. Так как , то имеем . По свойству верхнего предела существует и . В силу компактности считаем для удобства обозначения сходящейся к некоторой предельной точке в . По условию леммы . Так как и , то . Следовательно . Поскольку , то . Отсюда Лемма доказана. 2. Введём множество e-ограниченных оптимальных управлений . Теорема 1. Пусть 1) существуют числа , для которых при и всех : и ; 2) существует число , линейный оператор с , что при всех и чисел с будет при и . Тогда и при всех . Доказательство. Введём ─ функцию Лагранжа. Тогда по [3,209] для любого существуют с , что . Отсюда . Но и по 1) . Тогда , а с ней и . На основе условию 1) получаем неравенства . Используя условие 2) теоремы 1, получаем неравенства . Поскольку и , то и e-ограниченно. Тогда и любое оптимальное . Теорема 1 доказана. Замечание 1. Из теоремы 1 имеем и включение его в порядковый отрезок, что локализует область поиска . Введём с и при функции Лагранжа с и , . Очевидно, . Теорема 2. В условиях теоремы 1 и при: 1) в любой -задаче существует оптимальное управление ; 2) существует число , для которого при и всех модули ,; 3) существует число , линейный оператор с , что при всех , чисел с имеем (*). Тогда I) все и ; II) , а {} будет минимизирующей в 0-задаче. Доказательство. Поскольку условия теоремы 2 аналогичны условиям теоремы 1, то доказательство I) проводится также аналогично. Докажем II). Имеем очевидные неравенства: (2) из которых . Тогда при и {} будет минимизирующей в 0-задаче. Теорема 2 доказана. Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2, а также для всякой и при любом последовательность компактна в . Тогда компактна в , а любая её предельная точка . Доказательство. Поскольку , то на основе условия теоремы 3 получаем компактность в . Согласно [3,210] существуют числа с для которых производная . Отсюда . Так как , то нетрудно установить компактность в , а с ней и компактность в . Обозначим . Тогда и компактна в . На основе неравенства (*) условия 3) теоремы 2 получаем . Для компактности в достаточно показать, что у всякой ее существует сходящаяся в подпоследовательность. По компактности для существует сходящаяся в , которая, очевидно, будет фундаментальной в . Тогда для всякого числа существует номер N, что при всех получаем . Отсюда , так как для некоторого числа , что доказывает фундаментальность в и, следовательно, сходимость в . Таким образом, компактна в , а все её предельная точки принадлежат . Пусть ─ любая предельная точка для . Тогда существует с в . По непрерывности , в при получаем при сходимости , . Так как , то . Очевидно, с . Тогда в пределе . Следовательно, любая предельная точка есть допустимое управление в 0-задаче. По теореме 2 ─ минимизирующая в 0-задаче. Тогда тоже минимизирующая. Из непрерывности и в KB-линеале получаем . Но . Следовательно, . Так как и допустимое управление в 0-задаче, то будет и оптимально в ней. Поэтому . Теорема 3 доказана. Теорема 4. Пусть 1) выполнены условия теоремы 3; 2) для всех существует , что и , а . Тогда А) последовательность , компактна в , а любая её предельная точка ; В) ; C) . Доказательство. По теоремам 2,3 и компактна в и все её предельные точки . Из условия 2) теоремы 4 имеем и . Отсюда компактна в , а все ее предельные точки совпадают с предельными для . Тогда и тем самым А) доказано. Используя A) и лемму для случаев и при , получаем , что и доказывает B). По заключению А) и компактна в , а любая её предельная точка . Тогда для существует с в , а по [1,199] и в . Из непрерывности получаем =. Но так как по А) , то . Отсюда имеем компактность и, как нетрудно установить, есть ее единственный частичный предел. Следовательно, и поэтому верно C). Теорема 4 доказана. Замечание 2. Приближение можно получить, например, каким-либо методом минимизации [2,539]. Из теоремы 4 получаем усиленную регуляризацию в минимизирующей . Тогда с учетом терминологии [2] её можно назвать порядковой регуляризирующей. 3. Рассмотрим 0-задачу оптимального управления: (3) где состояние , управление , а все функции, входящие в задачу (3), достаточно гладкие. Здесь вектор-функция является единицей в KB-линеале . Функционал можно взять, например, как в . В работе [4] приведены условия на функции задачи (3), при которых применимы теоремы 1-4. В частности, это сведение дифференциальной задачи к интегральной форме, ограниченность по норме в допустимого множества управлений и непрерывная дифференцируемость интегральных функционалов , при . Отметим, что для пространство . Поэтому сходимость регуляризирующей последовательности будет в , то есть в более сильной метрике по сравнению с .

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.