ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Пекельник Н.М.,Хаустова О.И.,Попова Н.И.,Трефилова И.А.

Сибирский государственный университет путей сообщения


Номер: 2-1
Год: 2016
Страницы: 33-37
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

интеграл, определенный интеграл, экспоненциальная функция, несобственный интеграл, интегральное представление, integral, the definite integral, exponential function, improper integral, integral representation

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Статья посвящена вычислению одного типа несобственных интегралов, содержащих произведение экспоненциальной функции и нечетных степеней косинуса. Установлено, что рассматриваемые интегралы выражаются через некоторые суммы, где в качестве слагаемых выступают произведения сочетаний и экспонент специального вида. Кроме того, в работе для данных определенных интегралов установлены рекуррентные соотношения.

Текст научной статьи

В различных областях математического анализа встречается интеграл , который с точностью до множителя совпадает с интегралом Пуассона. Его обобщением является выражение вида . В различных классических учебниках и справочниках приведена формула для вычисления последнего интеграла. Так в [1 - 3] показано, что для любого действительного справедливо равенство: . (1) В работе [4] для любого натурального числа была получена формула для вычисления интегралов вида . Целью данной работы является вывод формулы, аналогичной (1), для вычисления интеграла , где - любое натуральное число. Кроме того в статье устанавливаются рекуррентные соотношения, связывающие и . Основные результаты сформулированы ниже в виде следующих утверждений. Теорема 1.1. Для любого натурального и произвольного действительного справедливо равенство: , (2) где, как обычно, - число сочетаний из элементов по , вычисляемое по формуле: . (3) Теорема 1.2. Для любого натурального и произвольного действительного имеет место рекуррентное соотношение: . (4) Сформулируем и докажем утверждения, необходимые для вывода формулы (2). Лемма 1. Справедливо равенство: . (5) Доказательство. Воспользуемся следующим известным рекуррентным равенством для сочетаний: . (6) Дважды применяя (6), получаем цепочку равенств: . Лемма 1 доказана. Лемма 2. Имеет место соотношение: . (7) Доказательство. Заметим, что, согласно определению (3): . (8) Из формулы (5) при , учитывая (8) получаем: . Лемма 2 доказана. Лемма 3. Справедливо равенство: . (9) Доказательство непосредственно следует из формулы (3). Очевидно, что можно записать следующим образом: . (10) Аналогичная форма представления для принимает вид: . (11) Кроме того, . (12) Формулы (10) - (12) позволяют сформулировать следующее утверждение. Лемма 4. Для любого натурального имеет место соотношение: . (13) Доказательство. Равенства (10) - (12) показывают, что равенство (13) выполняется для . Допустим, что оно верно для . Покажем, что тогда равенство (13) справедливо и для . Имеем: Используя известную формулу преобразования произведения косинусов в сумму, получаем: . Изменив порядок суммирования в двух последних суммах, имеем: . Проведя пререгруппировку слагаемых, получаем: . Отсюда, используя равенства (5),(7) и (9), выводим: . Таким образом, . Лемма 4 доказана. Лемма 5. Справедливо равенство: . (14) Доказательство. Из определения числа сочетаний (3) имеем: . Лемма 5 доказана. Приведем доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 1.1. Из равенств (1) и (13) следует, что . Теорема 1.1 доказана. Доказательство теоремы 1.2. Из равенств (2) и (14) следует, что Теорема 1.2 доказана. Рассмотрим некоторые следствия теоремы 1.1. Соотношение (2) имеет наиболее простой вид при малых значениях . Именно, имеют место следующие утверждения. Следствие 1. Справедливо равенство: . (15) Доказательство. Из формулы (2) и равенства (3), при следует, что: . Следствие 1 доказано. Следствие 2. Имеет место интегральное представление: . (16) Доказательство. Аналогично предыдущему выводим: . Следствие 2 доказано. Следствие 3. Справедливо равенство: . (17) Доказательство. Согласно формуле (2) и равенству (3), при получаем: . Следствие 3 доказано.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.