О БИФУРКАЦИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ С ОДНОСТОРОННИМ КАСАНИЕМ ЛИНИИ РАЗРЫВА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Ройтенберг В.Ш.

Ярославский государственный технический университет


Номер: 2-1
Год: 2016
Страницы: 37-45
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

кусочно-гладкое векторное поле, периодическая траектория, бифуркации, бифуркационные многообразия, piecewise smooth vector field, periodical orbit, bifurcations, bifurcation manifolds

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассматривается кусочно-гладкое векторное поле на двумерном многообразии, имеющее периодическую траекторию, проходящую через точку линии разрыва поля. При этом положительная полутраектория, начинающаяся в указанной точке имеет с линией разрыва кубическое касание, а отрицательная полутраектория трансверсальна этой линии. Предполагается также, что других особых точек траектория не содержит. Описаны бифуркации в окрестности такой периодической траектории.

Текст научной статьи

Изучению бифуркаций динамических систем, задаваемых кусочно-гладкими векторными полями, посвящен ряд работ, например, книги [1; 2]. В статьях автора [3-6] рассматривались нелокальные бифуркации рождения устойчивых периодических траекторий. Интерес представляют и бифуркации перерождения периодических траекторий, при которых у них меняется число дуг скользящих движений [7; 8]. Одну из таких бифуркаций мы и рассмотрим ниже. На ориентируемом компактном двумерном -многообразии с разбиением на компактные двумерные -подмногообразия , , такие, что , при ,, рассмотрим кусочно-гладкое векторное поле , где - прямая сумма банаховых пространств векторных полей класса на с -топологией [4; 5]. Для удобства формулировок дадим (в рамках этой статьи) названия некоторым особым точкам на линиях разрыва. Пусть точка принадлежит для некоторых . Выберем локальные -координаты в окрестности точки так, чтобы , а , . Такие координаты будем называть правильными. В этих координатах , (1) где . Будем называть сжимающей трехсепаратрисной особой точкой поля , если координаты можно выбрать так, что , , , а . Точка является внутренней точкой траектории поля , касающейся в линии . Положительную (отрицательную) полутраектории , начинающиеся в точке , будем называть выходящей (входящей) касательной сепаратрисой точки . Отрицательную полутраекторию поля , начинающуюся в , будем называть входящей трансверсальной сепаратрисой точки . Будем называть сжимающей точкой поворота поля , если координаты можно выбрать так, что , , , а . Отрицательную полутраектории поля , начинающуюся в , будем называть (входящей) сепаратрисой точки . Будем называть сжимающей проходимой особой точкой поля , если в некоторых правильных координатах , , , (2) . Пусть : - траектория поля , () - наименьшее (наибольшее) из чисел , для которых дуга при некоторых , а в ее точках вектор () не касается и направлен внутрь (). Дугу назовем дугой устойчивого скользящего движения на траектории . Теорема. Пусть векторное поле имеет периодическую траекторию , содержащую сжимающую проходимую особую точку и не содержащую других особых точек. Тогда существуют окрестность периодической траектории , окрестность векторного поля и -диффеоморфизм , где , - окрестность нуля в некотором подпространстве банахова пространства , со следующими свойствами: 1) Положительные полутраектории векторных полей , начинающиеся в точках , не выходят из . 2) Окрестность можно представить в виде (рис. 1) , где , , , , равномерно относительно , , , , , , равномерно относительно при , , , где при , , при , , , . 3) Схемы векторных полей , , и ,, в изображены на рис. 1. Векторные поля имеют в две особые точки - сжимающую точку поворота и сжимающую трехсепаратрисную точку. Векторные поля имеют в единственную особую точку - сжимающую проходимую точку. Векторные поля не имеют в особых точек. Векторные поля имеют в единственную периодическую траекторию , к которой -предельны все остальные траектории, начинающиеся в ; содержит дугу скользящих движений при и не содержит такой дуги для остальных . Рис.1. Бифуркационная диаграмма и перестройки фазовых портретов Доказательство. Из условий (2) по теореме о неявной функции следует существование -функции , где - некоторая окрестность поля , такой, что и . Сделав замену координат , и вернувшись к прежним обозначениям координат, мы можем считать, что векторное поле в окрестности точки имеет вид (1), где уже , . (3) Согласно [9, 595] существуют такие -функции , что , при . Выбрав окрестность и число достаточно малыми, будем также иметь , , (4) . (5) Ввиду (3) и (4) на множестве определена -функция , при этом , . (6) Мы можем считать, что координаты выбраны так, что . (7) Введем функцию . Ясно, что . Поэтому существуют такие окрестность поля , окрестность нуля в подпространстве банахова пространства , число и -диффеоморфизм , что . Рассмотрим дифференциальное уравнение . (8) Его интегральные кривые, лежащие в полуплоскости , задают в координатах дуги траекторий поля . Для достаточно малого числа и некоторой окрестности при любых , , определено решение , , уравнения (8), удовлетворяющее начальному условию , при этом . Так как , то . (9) Обозначим точку с координатами , . Если достаточно мало, то и трансверсально траекториям векторных полей при . Отсюда и из (5) следует, что можно выбрать такие окрестность и число , что определено отображение точки , , по траекториям поля в точку окрестности с координатами , , при этом , . Для некоторых окрестности и числа определена функция , , . Из (9) следует, что при этом можно считать . (10) При , то есть при , ввиду (3)-(4) интегральные кривые уравнения (8) являются дугами траекторий поля , поэтому - отображение по траекториям поля . Определим функцию положив . Нетрудно проверить, что и линейно независимы. Поэтому найдутся такие окрестность поля , окрестность нуля в подпространстве пространства , число и -диффеоморфизм , что , . (11) Пусть . Вследствие (10) , . Выберем число так, чтобы , . Пусть - период , - уравнение , а числа таковы, что дуги , , а их концы . Нетрудно построить окрестность периодической траектории (аналогично соответствующей конструкции в гладком случае [10, 99]) со следующими свойствами: ограничена двумя простыми замкнутыми кривыми и , состоящих из гладких дуг с концами на и трансверсальных ; и пересекают дугу , соответственно, в точках с координатой и ; векторное поле в точках трансверсально и направлено внутрь . Выбрав окрестность достаточно малой, можно считать, что для всех , векторное поле в точках направлено внутрь , , . (12) Мы можем также считать, что при , , (13) , . (14) Вследствие (6) и (7) , где , . Обозначим . В уравнении (8) при сделаем замену переменных , . Получим уравнение , (15) где , . Мы можем считать столь малым, что функция определена и принадлежит классу при , , , если и , если , . Если число и окрестность нуля в достаточно малы, то уравнение имеет при относительно два решения и , где , , для , (16) для и . (17) Пусть - решение уравнения (15), удовлетворяющее начальному условию . Ясно, что , и потому . Отсюда по теореме о неявной функции следует, что если и выбраны достаточно малыми, то при уравнение имеет решение , такое, что и , при этом для . (18) Тем самым, дуга : , , принадлежит траектории поля , а потому и поля . Обозначим , . При достаточно малых и , , . (19) , , . (20) Ввиду (3), (16) и (17) , если , (21) , если или . (22) Из (3) - (5) и (19) следует, что для поля точка с координатами , - сжимающая точка поворота, а точка с координатами , - сжимающая трехсепаратрисная особая точка, для которой дуга - ее входящая касательная сепаратриса. Обозначим . Вследствие (22) и (18) ограничение функции , , на промежутки и дает отображение по траекториям поля . Поэтому при или тогда и только тогда, когда через точку с координатами , проходит периодическая траектория поля; в частности, выходящая сепаратриса точки совпадает с ее трансверсальной входящей сепаратрисой, если , где . Аналогично (9) , поэтому и , . (23) Из равенства и из (23) получаем, что при некотором , (24) и вследствие (14) . (25) Из равенства , используя (23) и оценки (14) и (20) получаем, считая , . (26) Так как , а в силу (19) , то . (27) Мы можем считать, что . Выберем число . Пусть . При , из (19) и (25) получаем . (28) Из (26) - (28) следует, что существует такая -функция , что и при . (29) Из (26) и (27) получаем, что при . (30) Ввиду (29) и (30) выходящая сепаратриса точки и ее трансверсальная входящая сепаратриса принадлежат одной периодической траектории, если (на бифуркационное диаграмме ). Вследствие (10) . Отсюда и из (29) и (12) получаем, что при , имеет на промежутке единственный нуль . Через точку с координатами , проходит периодическая траектория, к которой -предельны все остальные траектории, начинающиеся в окрестности . Обозначим . Из (13), (14), (24) и (19) получаем при . (31) Аналогично (28) при . (32) Аналогично (28) , (31) и (26) получаем , (33) если , , и , если . (34) Из (32)-(34) следует, что существует -функция такая, что и при . (35) Из (29) - (31) и (35) следует, что при принадлежит промежутку . Поскольку , а при , то через точку проходит периодическая траектория поля , содержащая дугу скользящих движений , . Нетрудно убедиться, что все остальные траектории, начинающиеся в окрестности имеют с общую положительную полутраекторию. При () выходящая сепаратриса точки и входящая сепаратриса точки принадлежат одной периодической траектории, содержащей дугу скользящих движений , . Обозначим . Аналогично (35) доказывается существование -функции такая, что и при . (36) Из (36) следует, что при () положительная полутраектория, выходящая из точки содержит входящую касательную сепаратрису этой точки. Поведение траекторий при , изображенное на рис.1, также следует из (36). При из (36) получаем, что . Вместе с (10) и (12) это дает существование единственного нуля функции на интервале и, соответственно, гиперболической периодической траектории, к которой -предельны остальные траектории, начинающиеся в . Поле () не имеет особых точек, а является диффеоморфизмом по траекториям поля . Поле , и имеет единственную особую точку с координатами , а является инъективным отображением по траекториям поля (). Из (10) и (12) следует, что в этих случаях имеет единственную (устойчивую) неподвижную точку. Соответственно, имеет в устойчивую периодическую траекторию , к которой -предельны остальные траектории, начинающиеся в . При проходит через особую точку, а случаи и отличаются только тем, что траектория, проходящая через особую точку находится по разные стороны от .

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.