О НЕКОТОРЫХ ТЕМАХ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Султыгов М.Д.

Ингушский государственный университет


Номер: 2-1
Год: 2016
Страницы: 45-49
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Предел, последовательность, равномерная сходимость, метрическое пространство, граф алгоритма исследования ряда, The limit of the sequence, uniform convergence, metric space, graph algorithm research series

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассматриваются основные понятия математики и их свойства в пространствах с элементами произвольной природы, показан механизм предела последовательности и функции. Изучаются вопросы теории рядов в линейных метрических пространствах QUOTE С помощью теории графов разработан алгоритм сходимости числового ряда.

Текст научной статьи

1. О задачах на определение предела. Залогом успешного овладения математическим анализом служит понимание того, что такое предел последовательности и функции? Важно, чтобы первое определение, с которого начинается математический анализ, было усвоено студентами. Для этого недостаточно изучить теорию и освоить технику вычислений пределов. Чтобы знания не остались формальными, чтобы научиться обращаться с пределами, необходимо уметь использовать определение предела для доказательства равенства Как раз решение таких задач вызывает наибольшие затруднения. Чем же обусловлены эти трудности? Во-первых, это задача на доказательство, во-вторых, сама постановка задачи - найти функцию (которая к тому же не единственна), чтобы выполнялись соответствующие условия, является нестандартной. Поэтому необходимо подготовить студента к решению таких задач и далее дать рецепт решения для простых функций. Сама подготовка состоит в решении задач на оценивание (что пригодится в дальнейшем при использовании признака Вейерштрасса в рядах и несобственных интегралах): - доказать, что в некоторой проколотой окрестности точки и некоторого выполняется оценка где -многочлен или рациональная функция,=; - проверка по определению того, что для ряда элементарных функций. Для простейших монотонных функций доказательство того, что неравенство выполняется в некоторой проколотой - окрестности точки , сведется фактически в силу монотонности к решению уравнений Таким образом, использование определения предела для доказательства равенства для простых функций сведется к выбору окрестности точки и оценке через некоторую подходящую бесконечно малую при функцию , для которой выбор производится описанным выше способом. 2. «Ряды» в курсе высшей математики. При изучении реальных явлений и процессов с помощью математических моделей учитываются количественные свойства, а качественные (физические, биологические, социологические и другие) остаются вне поля зрения математиков. Поэтому нередко одна и та же модель описывает явления различной природы. В связи с этим оказывается целесообразным рассматривать основные понятия математики и их свойства в пространствах с элементами произвольной природы. Так, например, при изучении основных разделов курса высшей математики понятие числовой функции одной и нескольких переменных, последовательности, числовой последовательности, вектор-функции скалярного аргумента вводятся как частные случаи отображения линейного пространства в линейное. Предел функции - как частный случай предела отображения метрического пространства в метрическое. Производная и дифференциал функции - как частный случай производной и дифференциала отображения евклидова пространства в евклидово с введенной в них метрикой , удовлетворяющей обычным аксиомам метрики (положительности, тождественности, симметричности, треугольника). При рассмотрении темы «Ряды» такой подход до сих пор не применялся. Теорию рядов также целесообразно рассматривать в пространствах с элементами произвольной природы - в линейных метрических пространствах . Решение вопроса о сходимости ряда зависит от той метрики, которая введена в пространстве . Можно, например, ввести равномерную близость функции (чебышевская метрика), близость в среднем квадратическом и др. В курсе лекций по теории рядов достаточно ограничиться частным случаем метрики, для которой выполняются условия: где - нулевой элемент в L,y,z Нетрудно убедиться в том, что эти условия выполняются для традиционной метрики , для чебышевской и среднеквадратической метрик. Таким образом, меняется общий подход к теории рядов: основные свойства доказываются для рядов с произвольными членами , а свойства рядов с членами в пространствах или получаются из них как частный случай. В качестве примера приведем следующую теорему: Если и ряд сходится равномерно на , то , где произвольное метрическое пространство. Для доказательства оценим При доказательстве учли, что и , 3. Представления сходимости ряда в виде графа Исследование рядов предполагает наличие определенной математической подготовки и является трудным разделом математики для студентов. Вместе с тем изучение этого материала, несомненно, полезно для улучшения математической подготовки студентов всех специальностей и развития умения самостоятельно делать сложные логические заключения при рассуждении по сложному алгоритму. В процессе построения графа алгоритма исследования ряда были получены следующие результаты: 1.Оказалось, что математики при исследовании числового ряда не придерживаются определенной схемы рассуждения. Вследствие этого в курсах эта схема не изучается. При весьма ограниченном лимите времени, отводимом на аудиторные занятия по математике, большинству студентов не удается выработать схему рассуждения самостоятельно. При этом ценность курса числовых рядов уменьшается. Построение оптимальной схемы рассуждения, которую можно применить для всех без исключения традиционно изучаемых рядов, оказалось трудной задачей даже для преподавателей математики. Построенный граф алгоритма исследования числовых рядов представлен на рис.1 [1,556] и рис.2. Рис 1.Схема исследования на сходимость знакопостоянного ряда Рис 2. Схема исследования на сходимость знакопеременного ряда 2. Найденное оптимальное решение отличается от традиционного расположения материала. Например, оказалось, что полученный граф алгоритма исследования ряда (см. первый оператор схемы рис. 2) ссылается на изолированный подграф метода исследования знакоположительных рядов (рис.1). При традиционном исследовании на абсолютную сходимость обычно рассматриваются как часть общего алгоритма исследования сходимости ряда. В результате многие студенты не понимают, что сходимость в первую очередь определяется скоростью убывания общего члена ряда. Установление абсолютной сходимости позволяет сделать вывод о сходимости самого ряда. Поэтому схема исследования в этом случае сильно сокращается. 3. В традиционном изложении некоторые части алгоритма отсутствуют. Например, анализ ситуации, когда рекомендованные признаки сходимости не позволяют получить ответ. Часто это ставит в тупик студентов с недостаточно высоким уровнем математической подготовки. Полученные результаты показывают, что представление знаний в виде графа следует использовать для улучшения усвоения студентами тех разделов учебных программ, в которых изучаемые явления и факты имеют сложную структуру и связаны сложными логическими условиями.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.