ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ НАД СОДЕРЖАНИЕМ ТЕОРЕМ КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ Шуркова М.В.

ГАОУ ВО МГПУ


Номер: 2-4
Год: 2016
Страницы: 105-107
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

математический анализ, педагогический вуз, mathematical analysis, pedagogical higher education institution

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье описываются возможности использования задачного материала по математическому анализу при работе над усвоением содержания теорем курса в педагогическом вузе.

Текст научной статьи

Формирование основ профессионального мастерства будущего учителя математики в педагогическом вузе происходит не только за счет таких специальных дисциплин, как педагогика, психология, методика преподавания математики и пр., но и в процессе изучения дисциплин математического цикла. При этом, одно из центральных мест по праву принадлежит курсу математического анализа, являющемуся научным фундаментом большинства понятий, фактов и методов школьного курса математики. Конечно, в большей степени это относится к первым разделам курса; дальнейшие разделы имеют к школьной программе отдаленное отношение, но они совершенно необходимы для формирования математической культуры будущего учителя и для изучения смежных дисциплин. С другой стороны, как следует из проведенного нами исследования, именно курс математического анализа вызывает наибольшие затруднения у студентов педагогических вузов математических специальностей. Неуспеваемость по математическому анализу служит одной из основных причин отчисления студентов. Подавляющее большинство опрошенных нами будущих учителей математики (78%) назвали математический анализ самым сложным предметом математического цикла. Говоря о характере своих проблем, студенты отмечают, что формулировки определений и теорем слишком громоздки и сложны для понимания (43%), полученные на лекции теоретические знания сложно применить на практике (41%), а около 16% опрошенных признались в том, что вообще не понимают содержания лекций по математическому анализу [1]. Изучение математических дисциплин, в основном, осуществляется на лекционных и практических занятиях. На лекции излагаются основные теоретические положения данной научной области, однако, лекция обеспечивает усвоение материала лишь на уровне знакомства, общей ориентировки в предмете. Усвоение более высокого уровня достигается на практических занятиях, которые способствуют более осмысленному восприятию теории и формированию у студентов определенных умений и навыков. Практические занятия по математическому анализу, помимо прочих своих функций, предоставляют преподавателю возможность более глубокой проработки теоретического материала, полученного студентами на лекции. Практические занятия по математическим дисциплинам в вузе сводятся, как правило, к решению задач. И это не случайно - решение математических задач является важнейшим видом деятельности, в процессе которой усваивается теория, формируются умения и навыки, развивается мышление, активизируется познавательная деятельность. Остановимся более подробно на роли практических занятий в усвоении теорем курса математического анализа. Подобранная соответствующим образом система задач и упражнений, применяющаяся на практических занятиях в вузе, может способствовать усвоению содержания теоремы, пониманию значения каждого слова в ее формулировке и усвоению ее логической структуры, а также обучать применению теоремы и раскрывать взаимосвязь изучаемой теоремы с другими теоремами. Усвоению содержания теоремы способствует выполнение упражнений на выделение ее условия и заключения, на распознавание ситуаций, в которых теорема может быть применена, а также на самостоятельное моделирование объектов, для которых теорема применима или неприменима. Полезно также продемонстрировать студентам существенность каждого из условий теоремы. Это можно сделать с помощью моделирования ситуаций, в которых изменено одно из условий, а остальные оставлены без изменений. При этом важно обратить внимание студентов на то, что в случае, когда теорему применить нельзя, ее заключение всё равно может выполняться. Так, например, для усвоения условий теоремы о сходимости знакочередующегося ряда (признака Лейбница) можно предложить учащимся определить, в каких из следующих ситуаций признак Лейбница применим: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Признак Лейбница неприменим для рядов под номерами 2), 3), 4), 5), 7) и 8), поскольку для каждого из них нарушено по одному из трех условий теоремы. Однако, можно показать, что при этом ряды 5) и 7) всё равно сходятся. Для ряда 8) не выполняется необходимый признак сходимости числового ряда (он же является одним из условий теоремы Лейбница), следовательно, ряд 8) точно расходится. Таким образом, приведенная система упражнений способствует еще и установлению связи изучаемой теоремы с другими теоремами. Не менее полезным здесь будет другой тип задач, где надо, наоборот, привести пример ситуации, в которой теорема неприменима из-за несоблюдения одного из ее условий. Особенно важны такие задания для будущих учителей - учитель должен уметь быстро и с легкостью приводить примеры различных объектов, удовлетворяющих или не удовлетворяющих некоторым условиям. Приведем примеры таких упражнений (к теореме Ролля): 1. Постройте эскиз графика функции , дифференцируемой внутри отрезка , удовлетворяющей условию и такой, что выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) ; 2) в интервале существует ровно две точки, в которых ; 3) не существует точки , такой что . 2. Постройте эскиз графика функции , непрерывной на отрезке , удовлетворяющей условию и такой, что выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) существует единственная точка , такая что ; 2) в интервале существует не менее двух точек, в которых ; 3) не существует точки , такой что . 3. Постройте эскиз графика функции , непрерывной на отрезке , дифференцируемой внутри него и такой, что выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) существует единственная точка , такая что ; 2) в интервале существует не менее трех точек, в которых ; 3) не существует точки , такой что . Для каких из приведенных вами функций теорема Ролля применима? Отметим, что следует обратить особое внимание студентов на разницу между неприменимостью теоремы к данной ситуации и противоречием теореме (которого вообще быть не может). Как показывает практика, крайне незначительная доля студентов может правильно ответить на вопрос: «Функция имеет равные значения на концах отрезка , но ее производная не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка. Не противоречит ли это теореме Ролля?». Приведенный пример показывает, что большинству студентов - будущим учителям математики! - логическая сторона вопроса непонятна. Множество задач, способствующих усвоению содержания теоремы, содержится в учебных пособиях [2; 3]. Задачный материал может также способствовать мотивации изучения теоремы. Достигается это с помощью обобщения серии однотипных упражнений, позволяющих выдвинуть некоторую гипотезу, требующую доказательства или опровержения. Однако, на соответствующем практическом занятии (проводящемся, скорее всего, уже после того, как на лекции данная теорема сформулирована и доказана) для этой цели целесообразней было бы предложить студентам набор задач, позволяющих сопоставить решения с использованием доказанной теоремы и без ее использования. Так, например, на практическом занятии, посвященном правилу Лопиталя, можно предложить студентам вычислить несколько пределов (например, ; ; ) двумя способами: 1) по правилу Лопиталя; 2) традиционными способами теории пределов, что будет значительно сложнее. Такие задания не только будут способствовать мотивации изучения новых фактов, но и повторению изученного ранее.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.