ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ РОБЕНА, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПРЯМОМ ЦИЛИНДРЕ Иванов Д.Ю.

Московская государственная академия водного транспорта


Номер: 3-1
Год: 2016
Страницы: 8-14
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

уравнение теплопроводности, краевая задача, граничное интегральное уравнение, единственность, существование, heat equation, boundary problem, boundary integral equation, uniqueness, existence

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

С помощью векторных потенциалов получено решение двумерных задач Робена, соответствующих начально-краевым задачам теплопроводности в однородном прямом цилиндре. Задачи теплопроводности характеризуются неоднородными граничными условиями третьего рода на боковой поверхности цилиндра, нулевыми граничными условиями первого, второго и третьего рода на основаниях цилиндра и нулевым начальным условием. Ранее такое решение было получено для аналогичных задач Дирихле и Неймана.

Текст научной статьи

Введение. В настоящей работе рассматриваются векторные краевые задачи Робена в плоской ограниченной односвязной области или ее внешности , соответствующие начально-краевым задачам теплопроводности в однородном прямом цилиндре или () на конечном временном промежутке с неоднородными граничными условиями третьего рода на боковой поверхности цилиндра, нулевыми граничными условиями первого, второго или третьего рода на основаниях цилиндра и нулевым начальным условием. В работе [1] исследованы аналогичные краевые задачи Дирихле и Неймана: доказаны теоремы единственности и получены решения в виде векторных потенциалов со значениями в пространстве , однозначно определяемых граничными интегральными уравнениями (ГИУ) с операторным ядром, выраженным через пространственно-временнýю -полугруппу. Преимуществом таких двумерных ГИУ по сравнению с обычными состоит в возможности экономного вычисления разрешающих их сеточных операторов в алгебре полиномов, образованных степенями полугруппового оператора [2, 3]. В настоящей работе соответствующие теоремы доказаны для векторных краевых задач Робена. 1. Постановки задач и теорема единственности. Пусть - граница области . Далее везде считаем, что . Рассмотрим четыре краевые задачи (): (), (1) (), (2a) (), (2b) решения которых - функции со значениями в пространстве , определенные на . Здесь - функции со значениями в , заданные на ; - нормаль к кривой в точке , направленная внутрь области ; , - сильные производные векторных функций; - коэффициент температуропроводности, - коэффициент теплообмена на боковой поверхности цилиндра. Оператор B определен в пространстве как на множестве - пересечении областей определения операторов и . Здесь E - тождественный оператор; оператор : , задан на абсолютно непрерывных по функциях , таких, что и при почти всех ; оператор : , задан на абсолютно непрерывно дифференцируемых по функциях, таких, что и () при почти всех ; , где - наименьшее собственное значение оператора ( лишь при ). Оператор B замкнут как сумма двух замкнутых операторов в пространстве , порождающих -полугруппы и дейcтвующих вдоль различных переменных [4]. Оператор B порождает экспоненциально убывающую -полугруппу : , следствием чего является оценка: (). (3) Кроме того, - нулевые операторы при . Будем считать, что если по условию значения векторной функции принадлежат банахову пространству, то предельные операции над этими значениями по умолчанию осуществляются в норме этого пространства. Обозначим через и пространства непрерывных и раз непрерывно дифференцируемых функций со значениями в , определенных на множестве . Определение 1. Решением уравнения (1) будем называть функцию со значениями в (области определения оператора ), обращающую уравнение (1) в истинное равенство. Определение 2. Решением задачи будем называть функцию , являющуюся решением уравнения (1) и удовлетворяющую граничному условию (2а). В случае задачи будем требовать также выполнения условия: при . Определение 3. Решением задачи () будем называть функцию , являющуюся решением уравнения (1) и имеющую с внутренней (внешней) стороны правильную нормальную производную ( при равномерно относительно ), определяемую равенством (2b): . В случае задачи будем требовать также выполнение условия при (). Задача Дирихле и задача Неймана: при , исследованы в работе [1]. Проведем аналогичное исследование для задачи в общем случае , частным случаем которого при является задача Робена. Теорема 1. Тогда задача имеет не более одного решения. Доказательство (ср. [5, с.166]). Пусть - решение задачи с нулевым условием (2). На достаточно малом расстоянии от построим кривую , параллельную [6, с. 263]. В области построим также кривую - окружность радиуса , охватывающую . Обозначим через область, ограниченную кривой , а через - область, ограниченную кривыми и . Поскольку (), то в силу формулы Грина справедливо равенство , на основании которого, переходя к пределам , и используя равенство (1) и нулевое условие (2b), имеем . Отсюда, с учетом оценок (3) и , получаем равенство на множестве . Теорема доказана. 2. Решение задач Неймана и Робена с помощью векторных потенциалов. Зададим на множестве векторную функцию со значениями в пространстве с помощью криволинейного интеграла первого рода: , (4) где , - векторная функция со значениями в , заданная на ; - функция со значениями в пространстве ограниченных операторов, действующих в , определяемая равенствами: (), . Согласно работе [1] при условии функция суть векторный аналог потенциала простого слоя, а именно: она может быть определена с помощью формулы (4) также в точках , является непрерывной функцией во всех точках , является решением уравнений (1), а при имеет правильные нормальные производные: . (5) Поэтому в силу теоремы 1 справедливо следующее утверждение: Следствие 1. Если , то функция является единственным решением задачи с граничным условием . Будем искать решение задачи в виде функции с неизвестной . В силу приведенного следствия и формулы (5) функция должна удовлетворять соответствующему ГИУ: , () при этом , , (; дифференцирование осуществляется по переменной ). Обозначим через часть кривой , вырезаемую кругом с центром в точке и радиусом , где d - радиус круга Ляпунова. Теорема 2. Пусть . Тогда оператор в пространстве компактен. Доказательство. Компактность оператора в пространстве доказана в теореме 9 [1]. Поэтому остается доказать компактность в оператора . Для этого представим его в виде суммы , где , (). Пусть . Учитывая ограниченность функции при (см. следствие 1 работы [1]) и выполняющееся на кривой Ляпунова неравенство , (7) имеем оценку , (8) где , L - длина кривой . Согласно оценке (8) при по операторной норме. Это означает, что достаточно установить компактность операторов при . С этой целью используем скалярное представление : , , , где - функция Хевисайда, - собственные значения оператора , - соответствующие собственные функции, ортонормированные в пространстве . Учитывая, что , имеем оценку: , где , I - норма функции в пространстве . Таким образом, операторы являются операторами Фредгольма. Теорема доказана. Теорема 3. Пусть . Решения уравнений (), принадлежащие классу , принадлежат также и классу . Доказательство проводится по схеме [6, c.187]. Пусть . Представим оператор в виде , где , , ; - непрерывная при вещественная функция: , , , . С учетом непрерывности по операторной норме функции при и условий , имеем . Пусть . Обозначим , где функция доопределена по непрерывности при на основании теорем 3 и 6 работы [1]. Полагая , имеем с учетом оценки (7) неравенство: , в силу которого к уравнению , эквивалентному (6), применима теорема Банаха: функция представима в виде ряда: (), сходящегося в норме . Наконец, пусть . Тогда справедливы оценки: (), , вследствие которых ряд сходится равномерно на множестве . Поскольку функция непрерывна на по операторной норме и , то . Тогда . Теорема доказана. Теорема 4. Пусть . Тогда уравнение () имеет единственное решение . Доказательство (ср. [6, c.386]). В силу теоремы 2 и альтернативы Фредгольма достаточно доказать, что соответствующее однородное уравнение () не имеет ненулевого решения . На основании теоремы 3 имеем . Это позволяет применить к функции вида () следствие 4 работы [1] и следствие 1 настоящей работы, согласно которым функция является единственным решением задачи с граничным условием и задачи с граничным условием (обозначим их и ). С учетом равенств (5) и () имеем равенство (). Таким образом, граничное условие задачи нулевое, следовательно, при (см. теорему 1). Тогда граничное условие задачи также нулевое, и при (см. теорему 1 работы [1]). В результате при , поэтому в силу равенств (5) имеем . Теорема доказана. На основании теорем 3 и 4 получаем следующее утверждение: Следствие 2. Пусть . Тогда уравнение () имеет единственное решение . Заключение. Следствия 1, 2 и теорема 1 позволяют сделать основной вывод настоящей работы: пусть и . Тогда задача имеет единственное решение, которое представимо в виде функции с неизвестной , однозначно определяемой уравнением (). Класс задач, для которых справедливы полученные результаты, можно расширить. С учетом работы [1] для их получения к оператору B достаточно предъявить следующие требования: (i) оператор B порождает экспоненциально убывающую -полугруппу и может быть расширен до оператора, допускающего спектральное разложение и также порождающего экспоненциально убывающую -полугруппу; (ii) оператор G должен быть компактным. Таким требованиям, кроме оператора , удовлетворяют также операторы и (), в случае которых задачи представляют собой стационарные и нестационарные, соответственно, задачи теплопроводности в плоской области , а также оператор (), в случае которого задачи представляют собой стационарные задачи теплопроводности в цилиндре . Вместе с тем стоит отметить, что условие (ii), используемое лишь для доказательства существования обратного оператора ГИУ в пространстве , выполняется благодаря ограниченности интервала . В работе [7] для задач Дирихле и Неймана доказана ограниченная обратимость операторов ГИУ, когда и оператор B фактически удовлетворяет одному условию (i). С учетом результатов настоящей работы результаты работы [7] справедливы и для задачи Робена. Поэтому в перспективе полученные в настоящей работе и работе [1] результаты относительно задач () и соответствующих им ГИУ могут быть распространены на достаточно большой класс абстрактных двумерных краевых задач для уравнений (1±), определяемый условием (i), внутри эллиптического случая [8, с. 304].

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.