О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лебедев И.А.,Яковлева А.А.

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»


Номер: 3-1
Год: 2016
Страницы: 20-22
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

дифференциальное уравнение, дифференциал, интегрирующий множитель, differential equation, differential, integrating factor

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В данной работе мы рассматриваем некоторые случаи понижения порядка обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Текст научной статьи

Если обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой дифференциал от уравнения первого порядка , (1) то это уравнение второго порядка имеет вид: (2) Таким образом, если уравнение имеет вид (2), то его порядок можно понизить, приведя к уравнению (1). Рассмотрим приведенное дифференциальное уравнение второго порядка , (3) где и . Уравнение (3) можно привести к виду (3) с помощью интегрирующего множителя , то есть записать , (4) где (5) Выражение (4) является полным дифференциалом при выполнении следующих условий: Подставляя выражения для и из (7-8) в (6), получаем необходимое условие для коэффициентов уравнения (3): . (9) При выполнении (9) интегрирующий множитель определяется по (7-8). Отметим, что при выполнении условия (9) , и, следовательно, . (10) Рассмотрим специальный случай, когда , (11) то есть когда . По (7-8) и(10) получаем, что в этом случае (12) Следовательно, при выполнении условий (9) и (11) из выражений (7-8), получаем , и выполняются условия полного дифференциала для . Так как по (7-8) и , то получаем (13) Таким образом, можем найти интегрирующий множитель и в силу выполнения условий полного дифференциала (6-8) по формуле (5) восстанавливаем функцию : и получаем уравнение первого порядка . Отметим, что в этом специальном случае (11) по (7-8) имеем и, кроме того, по (9) имеем необходимое условие , и следовательно, (15) Очевидно, верно и обратное, то есть этот специальный случай (11) соответствует линейным относительно коэффициентам (14) в уравнении (3), которые удовлетворяют условиям (15). При этом порядок уравнения понижается до линейного относительно . Отметим, что этот специальный случай (11) является новым [1-2].

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.