ОБ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОМ ПОДХОДЕ К КОНТРОЛЮ И ОПТИМИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Нечитайло А.Н.,Погодин И.Е.

ВИ (И-Т) ВА МТО


Номер: 3-5
Год: 2016
Страницы: 7-9
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

модель, скорость, тело, траектория

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

На примере простой задачи показана важность адекватности выбираемой модели и необходимость исследовательского (нешаблонного) подхода к ее решению.

Текст научной статьи

Основной целью большинства прикладных наук можно считать моделирование и оптимизацию различных процессов в окружающем мире. Важность адекватности выбираемой модели и необходимость исследовательского (нешаблонного) подхода продемонстрируем на простой задаче. Для этого предлагается рассмотреть несколько важных в методическом отношении различных подходов к решению элементарной, хотя и сравнительно редкой [1;70] задачи поиска минимальной скорости, позволяющей в «вакуумных» условиях перебросить точечное материальное тело через барьер высотой «h», расположенный на горизонтальном удалении «L» с позиции: а) «очевидного экспромта», б) решения системы неравенств, в) условий существования вещественных решений квадратного уравнения, г) безусловного экстремума функции начальной скорости, д) условного экстремума квадрата функции начальной скорости е) физического анализа на качественном уровне. а) Многие, даже опытные профессиональные физики сразу (ошибочно!) полагают, что вершина параболической траектории тела должна находиться точно над верхней точкой барьера. Тогда, введя обозначения g - для ускорения свободного падения, v - для начальной скорости, образующей угол α с горизонтом и t - для времени пролета до верней точки барьера: (1) О том, что это решение неадекватно поставленной задаче, можно убедиться, например, на предельных случаях: если при получаем верное:, то при, что неверно. б) Можно ввести угол Тогда, повернув систему координат на этот угол, получим два уравнения в ортогональных проекциях: Отсюда получаем: . Примечательно, что при h→0 ожидаем , т.е. выходим на известный результат максимальности полета тела, брошенного под углом Во всех остальных случаях т.е. выбирается так называемая «минометная» траектория. После несложных преобразований c использованием тригонометрических формул находим: (2) Искомая величина наименьшей начальной скорости v, рассчитанная из (2), меньше рассчитанной из (1). Соответствующее неравенство элементарно сводится к очевидному: Равенство достигается лишь при L=0. в) Не прибегая к повороту системы координат (проще) из двух кинематических уравнений в двух ортогональных проекциях: исключим время и используя параметр: (3) получим квадратное уравнение: (4) Для его разрешимости в вещественных числах требуем неотрицательности соответствующего дискриминанта:. Отсюда получаем уже знакомое выражение (2): Здесь из двух возможных знаков перед радикалом выбран «плюс» с целью получения правильного предельного значения при . г) Из уравнения (4) можно непосредственно получить выражение для рассматриваемой величины: С помощью системы уравнений из нулевых частных производных от скорости можно найти обеспечивающее ее минимум значение: а также само минимальное значение скорости: (5) д) Введя в рассмотрение две составляющие начальной скорости: vx и vy, можно составить задачу на поиск min(vx2+vy2) при двух условиях: , , построить вспомогательную функцию с 5 неизвестными: Ф(vx,vy,t,λ,μ)≡ vx2+vy2+ λ()+μ() (здесь λ, μ - множители Лагранжа) и, решая соответствующую систему из 5 уравнений для нулевых частных производных от Ф(vx,vy,t,λ,μ), придти к биквадратному уравнению для квадрата полной начальной скорости v: имеющим то же окончательное решение (2). е) Обращает на себя внимание простой вид полученного выражения, допускающий, что может существовать еще более наглядный «полукачественный, физический» способ решения. Действительно, в энергетическом смысле задача близка к оценке необходимой начальной скорости стремящегося на вершину барьера (L,h) прыгуна с шестом длиной , опирающимся в середине отрезка между точками начала и конца его полета на высоте 0.5h (реальной или вымышленной). (Можно показать, что выбор длины гипотетического шеста не существенен; это следует также из того, что в потенциальном гравитационном поле работа не зависит от выбора траектории между парой фиксированных точек.) Тогда, исходя из закона сохранения энергии, начальную кинетическую энергию тела можно оценить как потенциальную в верхней точке прыжка: 0.5m. Интересно, что из по тригонометрическим формулам вытекает: т.е. «целиться» следует в точку, расположенную выше верхней точки барьера на величину расстояния от точки бросания до вершины барьера. Еще одна особенность при бросании тела с такой скоростью (5) заключается в том, что тангенс угла β наклона скорости тела на вершине барьера с вертикалью равен . Таким образом, скорость тела в верхней точке барьера оказывается ортогональна его начальной скорости при бросании. Воспользовавшись этим свойством, можно изменить исходную задачу поиска минимальной скорости тела для попадания в заданную точку пространства на родственную задачу поиска наиболее удаленной точки попадания тела с заданным вектором начальной скорости. Поскольку движение тела происходит по выпуклой (параболической) траектории, то отсюда следует вывод, что такая точка должна располагаться на максимальном удалении от точки бросания на фронтальной плоскости, которая ортогональна вектору начальной скорости. Тогда по известной расчетной траектории движения тела можно найти наиболее удаленную точку, используя ориентацию вектора скорости. В заключение подчеркнем, что недостаток решения (1) в первой модели (п. «а») обнаружился при исследовании ее следствий (предельный переход к малым h), и до тех пор, пока не было найдено другое решение (2) для сравнения, оно, вообще говоря, не могло быть забраковано. Пункты («б» ÷ «е») показали инвариантность результата к различным методам его получения. Итак, на представленном примере показано, что при решении даже простых физических задач исследовательский подход позволяет не только определить и расширить область применения получаемого результата, но и отбросить решения, ложность которых априори вовсе не очевидна.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.