ДИФРАКЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ SH-ВОЛН НА ПОДВИЖНОЙ ПОЛОСЕ, ПРИКРЕПЛЕННОЙ К ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА Казей И.С.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана


Номер: 4-1
Год: 2016
Страницы: 19-23
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

волна сдвига, жесткая полоса, упругое полупространство, преобразования Фурье, интегральные уравнения, функции Бесселя, напряжения, shear wave, rigid strip, elastic half-space, Fourier transformation, integral equations, Bessel functions, stresses

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье рассматривается задача о дифракции антиплоской гармонической волны сдвига на прикрепленной к поверхности упругого полупространства жесткой бесконечной полосе. Исследуется режим установившегося движения, когда частоты колебаний полосы и точек упругого полупространства совпадают. Получена зависимость амплитуды движения полосы от амплитуды и частоты падающей волны

Текст научной статьи

1. Введение. В работе [1] приведены примеры решения различных задач стационарной дифракции, а в статье [2] исследуется вопрос о дифракции стационарной волны на трещине, находящейся в упругом пространстве. В данной работе рассматривается стационарная задача дифракции антиплоских волн на жесткой полосе, прикрепленной к поверхности упругого полупространства. Метод интегральных преобразований, по аналогии с [2], используется для сведения задачи к парным интегральным уравнениям, которые преобразуются затем в интегральные уравнения Фредгольма второго рода. 2. Задача о дифракции антиплоской гармонической волны сдвига на неподвижной полосе. Введем декартову систему координат , , . Упругое полупространство занимает область , а полоса прикреплена к ней на участке поверхности плоскости (Рис.1) . Ось перпендикулярна плоскости рисунка. Рис.1 В случае антиплоской деформации отличным от нуля будет перемещение вдоль оси и напряжения , , где - константа Ламе. Уравнение движения упругой среды сводится при этом к волновому уравнению относительно : , (1) где - скорость волны сдвига, - плотность упругой среды. Пусть падающая гармоническая волна имеет вид: , где - амплитуда, - круговая частота, - волновое число, - угол между осью и направлением распространения волны. Выражение для полного волнового поля представим в форме , (2) в которой отраженная от поверхности, свободной от напряжений, волна имеет вид а добавочное поле, вызванное наличием жесткой полосы, описывается выражением . Теперь подставляя (2) в (1) и отделяя переменную по времени, получим для уравнение Гельмгольца . Поскольку поверхность полупространства под полосой неподвижна , а оставшаяся часть поверхности свободна от напряжений , то граничные условия для : (3) (4) На концах полосы, в точках изменения типа граничных условий, перемещения должны быть непрерывны, а напряжения могут обладать интегрируемой особенностью. Родственная по математической постановке задача рассмотрена в статье [2]. Вид падающей волны и линейность задачи позволяют разбить на симметричную и антисимметричную составляющие: , где - четные функции по ; - нечетные функции по . В соответствии со статьей [3] амплитуда напряжений на границе упругого полупространства под полосой (т.е. при и y=0) имеет вид: , (5) где Функции и являются решениями интегральных уравнений Фредгольма второго рода и находятся численно (см. [3]). Заметим, что при . Найдем силу, действующую на единицу длины неподвижной полосы. Для этого проинтегрируем напряжение по симметричному промежутку [-a; a]. Поскольку , а при , то учитывая чётность по х напряжения и нечетность по x напряжения получим . При подстановке в формулы (5) нужно выполнить интегрирование: , i=1, 2. Окончательное выражение для силыбудет иметь вид: . (6) 3. Возмущения в упругом полупространстве, вызванные колебаниями полосы с заданной частотой. Пусть жесткая полоса совершает установившиеся колебания по закону , (7) а поверхность упругого полупространства вне полосы остается свободной от напряжений. В силу того, что полоса прикреплена к поверхности полупространства, перемещение границы для . Движущаяся полоса служит источником распространения возмущений в упругом полупространстве. Аналогично задаче о неподвижной пластине, отделяем переменную по времени и получаем краевую задачу для уравнения Гельмгольца относительно компоненты перемещения : , , (8) . (9) Краевые условия (8), (9) являются частным случаем краевых условий (3), (4) при и . С учетом этого факта по формуле (5) можно сразу написать выражение для амплитуды напряжения при (10) Формула для силы, действующей на единицу длины пластины, аналогично (6) имеет вид , (11) где . 4. Задача о дифракции антиплоской гармонической волны на подвижной полосе. Рассмотрим жесткую полосу, прикрепленную к поверхности упругого полупространства. Введем систему координат так, как это было сделано в задаче о неподвижной полосе. Если жесткая полоса совершает установившиеся колебания по формуле (7), то ее уравнение движения имеет вид , где - масса единицы длины полосы, - сила, действующая на единицу длины подвижной полосы, - горизонтальное перемещение жесткой полосы в направлении оси z. Разобьём решение рассматриваемой задачи на две части: 1) дифракция волн на неподвижной полосе; 2) возмущение упругой среды движущимся жестким телом. Пусть для упругого полупространства ,причем на границе полупространства , при , а остальная поверхность свободна от напряжений. Решение задачи о дифракции антиплоской гармонической волны на подвижной полосе есть сумма решений двух задач, о которых говорилось выше. Силу, действующую на единицу длины полосы, запишем в форме , где и вычисляются по формулам (6) и (11). Обозначая , и избавляясь от множителя содержащего время, получим выражение для комплексной константы D: , где . (12) Чтобы найти действительную амплитуду перемещения, запишем закон движения пластины в форме , где , . (13) 5. Результаты и выводы. Построены графики безразмерной амплитуды перемещения полосы в зависимости от безразмерного волнового числа αa для различных углов падения волны (Рис.2). Рис.2 Вычисления производились в диапазоне . Верхняя граница этого промежутка обусловлена ограничениями, которые накладывает метод простой итерации, а случай требует отдельного исследования. Получено, что для , т.е. при нормальном падении волны, амплитуда смещения B монотонно уменьшается с ростом . Для других углов падения изменение амплитуды происходит более сложным образом. Этот эффект связан с тем, как соотносится длина рассматриваемой волны и ширина полосы . Обнаруженное явление отражено и на других графиках, представляющих собой зависимость амплитуды перемещения полосы B от угла падения волны (Рис. 3). Рис.3 Здесь можно отметить, что при графики представляют собой монотонно возрастающие функции, которые достигают максимума при . При получены графики, имеющие ярко выраженные минимумы при , однако максимум по прежнему достигается при . Исследования аналогичного типа можно провести и для других типов волн.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.