ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ В КВ-ЛИНЕАЛЕ Калашников А.Л.

Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского


Номер: 4-1
Год: 2016
Страницы: 23-28
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

минимизация, ω-нормальное решение, порядковая сходимость, minimization, ω-normal solution, ordinal convergence

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

К задаче последовательной минимизации в KB-линеале имеются k-задачи минимизации. Приводятся условия порядковой сходимости точек минимума k-задач ко множеству ω-нормальных решений.

Текст научной статьи

Рассматривается 0-задача минимизации функционала при операторном ограничении в виде и функциональных на состояние и управление . Пространство управлений ─ KB-линеал с единицей , определенной в [1,84]. Отметим, что при оптимизации пространства наряду с метрическими свойствами часто имеют и порядковые. Функционал минимизируется на множестве оптимальных управлений, что означает последовательную минимизацию или по терминологии [2,174] поиск -нормального решения. К 0-задаче имеются -задачи минимизации. Такое имеет место в приближённых задачах оптимального управления, математического программирования при введении дополнительного критерия качества и при регуляризации [2,183]. Приводятся условия -ограниченности -нормальных решений и оптимальных управлений в -задачах и сходимости ко множеству -нормальных решений в метрике KB-линеала -ограниченных элементов определённого в [1,198]. Это приводит к усиленной сходимости и наличие у нее порядковых свойств. 1. Пусть - банахово пространство состояний , а - пространство управлений . Определим ─ KB-линеал -ограниченных элементов в KB-линеале с нормой . Рассмотрим 0-задачу: , , , . Предположим, что имеется последовательность -задач: , , , . Здесь для вектор-функционалы и функционалы , операции : X ´ U ® Z класса , где Z - банахово пространство. Пусть в -задаче при множество точек минимума и для всех решение для единственно и класса . Например, это выполнено на основе теоремы о неявной функции [3,40]. Рассмотрим последовательную минимизацию: при , где ─ множество точек минимума в 0-задаче. Лемма. Пусть и компактна в , а любая её предельная точка . Тогда = 0, где . Доказательство. Так как , то . По свойству верхнего предела существует и . В силу компактности считаем для удобства обозначения сходящейся к предельной точке в . По условию леммы . Поскольку , то и . Но . Тогда существует . Лемма доказана. Теорема 1. Пусть 1) для -задач в 0-задаче; 2) при и компактна в ; 3) равномерно сходится при , а и при . Тогда I) для всех предельных в точек последовательности имеем: ; II) . Доказательство. Пусть ─ любая -предельная точка для . В этом случае существует , для которой в и , а . Из сходимости в следует [1,199] сходимость в . Тогда в и по непрерывности . На основе условия 3), получаем . Очевидно, . (1) Отсюда из (1) или . Так как и сходится, то . Тогда с учётом сумма . По непрерывности и получаем (A) и в норме имеем (B). Из условия 3) по равномерной сходимости будет (C) и также предел (D). Очевидно, . (2) С учетом пределов (A) и (C) из (2) или . Имеем очевидное неравенство: . (3) По пределам (B), (D) из (3) или в . Но и в пределе . Тогда ─ допустимое управление в 0-задаче. На основе условия 1) имеем . Поэтому получаем, что . Так как , то и I) установлено. Поскольку компактна в и все её предельные точки , то по лемме при и предел Теорема доказана. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и существует такая аппроксимация , что и , где . Тогда E) и компактна в , а любая её предельная точка и ; F) . Доказательство. По условию 2) теоремы 1 , а по условию теоремы 2 . Тогда . Поскольку и компактна в , то , как нетрудно установить, тоже компактна в , а ее предельные точки совпадают с предельными точками для . Поэтому на основе заключения I) теоремы 1 . Используя лемму для и получаем и E) доказано. Пусть теперь ─ любая предельная в точка для . Тогда существует , для которой в и . На основе [1,199] существует также и в . По E) теоремы 2 . Следовательно, . Поскольку сходится не только в но и в , то по непрерывности операции в U получаем, что или = 0. Имеем очевидное неравенство: . (4) . Так как , то на основе условия 3) теоремы 1. Из полученных пределов и (4) или . Отсюда . Но . Тогда и . Используя условие 3) теоремы 1, получаем . Так как , сходятся и непрерывен, то . Имеем очевидное неравенство (G): . Используя найденные пределы, получаем из неравенства (G) предел . Но . Отсюда . Так как v* ─ любая предельная точка, то все частичные пределы для совпадают и равны . Тогда существует и F) установлено. Теорема 2 доказана. 2. Рассмотрим последовательную минимизацию: при . Пусть . Введём и -нормальное решение как . В случае, если , то назовем его -нормальным решением, а ─ множеством этих решений. Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2, функционал непрерывен в U и . Тогда и для {} все их предельные в точки , а . Доказательство. Согласно теоремам 1, 2 компактны в , а любая их предельная точка . Пусть ─ любая предельная точка для . Тогда существует такая, что в . Поскольку по [1,199] из сходимости в следует сходимость в , то и в U. По непрерывности функционала в U получаем . Поскольку и по условию , то . На основе теоремы 2 . Тогда . Но . Отсюда и, следовательно, есть e-ограниченное -нормальное решение. Поэтому . Таким образом для всякой предельной в точки компактной будет . Применяя лемму для и получаем . По условию теоремы 2 , где . Тогда , а по её заключению и компактна в . Нетрудно показать, что имеет такие же предельные точки, как и . Отсюда все предельные точки для принадлежат множеству . Полагая в лемме и , получаем . Теорема 3 доказана. Отметим, что в теореме 3 приведены условия порядковой аппроксимации -нормальных решений в и их порядковые свойства. Замечание. Неравенство , например, выполнено в методах регуляризации при оптимизации [2,183]. По теоремам 1 и 2 последовательности сходятся к оптимальному множеству в более сильной метрике пространства по сравнению с и имеют порядковые свойства. В работе [4] приведены случаи выполнения условий этих теорем. 2. Рассмотрим 0-задачу: (5) оптимального управления с состоянием , управлением и задачу: , где U0 ─ множество оптимальных управлений в 0-задаче. Тогда получаем последовательную минимизацию функционала . Пусть имеются k-задачи: (6) где для всех функции и вектор-функции класса при матрицы непрерывны на а функционал непрерывен на . Здесь единица , а КВ-линеал и порядковая сходимость есть почти всюду равномерная и сильнее сходимости в . Отметим, что в [4] приведены условия применения изложенных теорем для задач (5), (6) при сведении их к интегральной форме.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.