О ГЛАДКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТЯХ КОМПАКТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ Ройтенберг В.Ш.

Ярославский государственный технический университет


Номер: 4-1
Год: 2016
Страницы: 32-35
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

вполне интегрируемые дифференциальные уравнения, компактные траектории, гладкая линеаризация, completely integrable differential equations, compact orbits, smooth linearization

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В работе рассматриваются гладкие вполне интегрируемые дифференциальные уравнения в n-мерном пространстве в окрестности нулевого решения, с правой частью, не зависящей от части независимых переменных и периодической по остальным независимым переменным. Даются достаточные условия существования гладкой замены переменных, линеаризующей такое уравнение.

Текст научной статьи

Условия аналитической линеаризации аналитического дифференциального уравнения , , , в особой точке изучались в классических работах А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, А. Дюлака и К. Зигеля. В гладком случае условия линеаризации в окрестностях особой точки и замкнутой траектории получены С. Стернбергом. Формулировки результатов, доказательства и обобщения можно найти в книге [1] и обзоре [2]. Достаточные условия аналитической линеаризации в особой точке аналитических вполне интегрируемых дифференциальных уравнений , , , , были даны А.И. Перовым [5]. Автором в работах [6-7] получены достаточные условия гладкой линеаризации вполне интегрируемых уравнений в окрестностях особых точек. В настоящей работе мы дадим аналогичные условия для уравнений в окрестностях компактных траекторий размерности . 1. Периодические уравнения. Рассмотрим дифференциальное уравнение , (1) где , , - -функции переменных , , 1-периодические по переменным , . Будем предполагать, что уравнение (1) вполне интегрируемо [3]: для любых и существует единственное решение , , , (2) удовлетворяющее условию . Определим отображения , положив . Тогда отображения бесконечно дифференцируемы и , , при . (3) Проекция на () интегральной поверхности в , задаваемой уравнением (2), называется траекторией уравнения (1), проходящей через точку . Вследствие (3) через каждую точку проходит единственная траектория. Пусть решение уравнения не зависит от переменных , и 1-периодическое по переменным , . Тогда соответствующая траектория компактна и диффеоморфна стандартному -мерному тору . Сделав в уравнении (1) замену переменных и вернувшись к прежнему обозначению для переменной, получим вполне интегрируемое уравнение того же вида (1), имеющее решение и соответствующую этому решению траекторию, диффеоморфную тору . 2. Автономные уравнения в окрестностях компактных траекторий. Пусть автономное вполне интегрируемое уравнение , (4) где и принадлежат соответственно -мерному и -мерному евклидовым пространствам и , а , имеет -мерную компактную траекторию . Тогда диффеоморфна стандартному тору [3]. Предположим, что существует -диффеоморфизм некоторой окрестности траектории на , отображающий в (согласно [8, с. 38-47] это всегда так при или ). Тогда в координатах задаваемых этим диффеоморфизмом и в некоторых координатах в уравнение (4) запишется в виде системы уравнений , (5) , , (6) где , , , - -функции, 1-периодические по переменным , , при , при ; . Выбрав достаточно малое число из уравнений (6) при получим , , где - -функции, 1-периодические по переменным . Подставив эти выражения в уравнение (5) и обозначив , , будем иметь вполне интегрируемое уравнение вида (1), траектории которого в окрестности тора (), задаваемой неравенством , совпадают с траекториями системы (5) - (6) . 3. Формулировка результатов. Пусть - линейный оператор, а - набор его собственных чисел. Этот набор называется нерезонансным, если для любого собственного числа и любых неотрицательных целых чисел , удовлетворяющих условию . Рассмотрим уравнение (1) в окрестности его траектории . Введем линеаризованное уравнение , (7) где , . Оно также вполне интегрируемо, и его решения имеют вид , где - линейные операторы, - тождественный оператор, , при . (8) Будем говорить, что уравнение (1) гладко линеаризуемо в окрестности его траектории , если существует -гладкая функция , , , , 1-периодическая по переменным , , такая, что замена переменных переводит уравнение (1) в уравнение (7). Теорема 1. Пусть при некоторых , все собственные числа линейного оператора имеют модуль меньший единицы или больший единицы и образуют нерезонансный набор. Тогда уравнение (1) гладко линеаризуемо в окрестности его траектории . Пусть - символ Кронекера: при и при . Вследствие (8) все линейных операторов , при и , при коммутируют между собой и потому , где , , инвариантные подпространства для всех этих операторов, при этом для и для имеет одно собственное число [3, 4]. Ясно что . Теорема 2. Пусть . Тогда уравнение (1) гладко линеаризуемо в окрестности его траектории . 4. Доказательства. Ясно, что уравнение (7) является уравнением в вариациях для производной решения уравнения (1). Поэтому . Из равенств (3) следует, что отображение , , является локальным -действием группы в окрестности неподвижной точки в . Согласно [6] из условий теоремы 1 и согласно [7] из условий теоремы 2 следует, что это действие можно линеаризовать в окрестности точки , то есть существует такой локальный -диффеоморфизм пространства в точке , что для всех из некоторой окрестности точки и всех , при которых . (9) Для положим . (10) Из (9) при , (3), (8) и (10) последовательно получаем , , , и, окончательно, . Следовательно, равенство задает -функцию 1-периодическую по переменным , . Покажем, что (11) для всех и , при которых определены обе части этого равенства. Действительно, используя последовательно (10), (7) , равенство (9) при и (8), имеем . Равенство (11) означает, что отображение переводит любое решение уравнения (1) в решение уравнения (7). Следовательно, замена превращает уравнение (1) в уравнение (7).

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.