МЕТОД АНАЛИЗА ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ В ЧИСЛОВЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦАХ Стаценко И.В.,Ле Дай Зыонг

Московский энергетический институт


Номер: 4-1
Год: 2016
Страницы: 35-35
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

комбинаторика, числовые треугольники, combinatorics, numerical triangles

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье приведен метод анализа закономерностей в произвольных числовых треугольных матрицах, основанный на использовании информации о линейных свойствах столбцов.

Текст научной статьи

Известен метод [1] анализа закономерностей в последовательностях - метод получения замкнутой формулы для общего члена последовательности для известной рекуррентной формулы с использованием производящей функции. Метод довольно часто приводит к громоздким выкладкам. В данной статье приводится метод анализа последовательностей в треугольных матрицах, основанный на построении систем линейных уравнений. Идея метода - выделение линейных комбинаций некоторых функций в первых двух-трех столбцах матрицы. После чего с использованием нулей, расположенных выше главной диагонали матрицы получают системы линейных уравнений для определения коэффициентов линейных комбинаций. 1. Анализ линейных комбинаций в треугольнике Паскаля Рассмотрим треугольник Паскаля в следующем виде см. таблицу 1. Таблица 1 m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 … … … … … … … … … Известно, что элементы треугольника вычисляются как . При этом формула не работает для элементов, находящихся над главной диагональю. Полагаем далее, что данные элементы тождественно равны нулю. Можно заметить, что , , , , … Данные формулы работают, в том числе, и для элементов, находящихся выше главной диагонали. Кроме того, понятно, что любой элемент треугольника есть линейная комбинация многочленов, следующего вида: , (1.1) Коэффициенты можно найти из систем линейных уравнений следующего вида: . Распространим данный подход для анализа других закономерностей. 2. Анализ вероятностного распределения количества разных букв в случайных словах для алфавитов любой размерности Пусть некоторое слово имеет буквенных разрядов, которые формируются из буквенного алфавита, при этом допустимы повторения букв. Необходимо вычислить количество слов - , где встречается ровно разных букв. Допустим в алфавите имеется четыре буквы: A, B, C, D. Слово состоит из трех разрядов. Тогда можно сформировать слова: AAA, AAB, AAC, AAD, ABA, ABB, ABC, … , DDC, DDD. В данном случае можно сформировать всего 64 слова. При этом слов, в которых встречается одна какая-либо буква, будет - ; слов, где встречается две разных буквы, будет- ; слов, где встречается три разных буквы будет -. Для случая имеем следующую треугольную структуру см. таблицу 2 Таблица 2 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 n=1 1*1 n=2 1*2 1*2 n=3 1*3 6*3 2*3 n=4 1*4 21*4 36*4 6*4 n=5 1*5 60*5 300*5 240*5 24*5 n=6 1*6 155*6 1800*6 3900*6 1800*6 120*6 n=7 1*7 378*7 9030*7 42000*7 50400*7 15120*7 720*7 … … … … … … … … Для получения величины можно использовать следующую рекуррентную формулу . (2.1) Данная формула неудобна к использованию при больших номерах . Поэтому воспользуемся изложенным выше подходом для поиска закономерностей в замкнутой форме. Заметим, что первые три столбца треугольной структуры можно вычислять в виде: , (2.2) , (2.3) . (2.4) Далее полагаем, что в последнем сомножителе имеет место линейная комбинация показательных функций вида: . Коэффициенты данной линейной комбинации найдем из систем линейных уравнений вида: . (2.5) Тогда, в частности, для четвертого столбца получим: . (2.6) Таким образом, получим формулу , (2.7) где . Сформируем треугольник коэффициентов . См. таблицу 3. Таблица 3 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 m=1 1 m=2 -1 1 m=3 1 -1 1 m=4 -1 3/4 -1 1 m=5 1 -1/2 2/3 -1 1 m=6 -1 5/16 -10/27 10/16 -1 1 … … … … … … … … Используя представленный выше подход, получим . (2.8) Далее, подставив (2.8) в (2.7), получим . (2.9) Формула 2.9 получена для случая, когда число разрядов слова совпадает с числом букв алфавита. Для общего случая и по аналогии получим формулу: . (2.10) Формула позволяет получить распределение вероятности случайного формирования разрядного слова для алфавита в букв, таким образом, чтобы в слове было ровно разных букв. Данная вероятность вычисляется следующим образом: . (2.11)

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.