ОБОБЩЕННЫЙ КЛАСС ЗВЕЗДНЫХ ФУНКЦИЙ MD (A,B) В Cn Султыгов М.Д.

Ингушский государственный университет


Номер: 4-1
Год: 2016
Страницы: 38-44
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Оператор дифференцирования и интегрирования, гиперконус, поликруг, логарифмически выпуклые полные двоякокруговые области Рейнхарта, двусторонние оценки функционалов, специальные подмножества, экстремальные функции, эффективность коэффициентов Тейлора, The operator of differentiation and integration, hyperсonus, polikrov, logarithmically convex complete docucrease area Reinhart, two-sided estimates of functionals, special subsets of the extreme functions, efficiency coefficients of the Taylor

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Текст научной статьи

Обобщенным классом звездных функций ; назовем множество всех голоморфных в области функций представимых рядом , где и удовлетворяющих условию: Здесь - суперпозиция операторов [2,с.10]: , и значение функции выражается в виде определителя матрицы размерности . Обратным к оператору является оператор Алгебру всех голоморфных в области функций будем обозначать символом . В пространстве вводится топология равномерной сходимости на компактных подмножествах . Отметим несколько свойств операторов дифференцирования [3,с.132]: Легко видеть, что если = есть степенное разложение функции , то () ( (ℛ f )(z) и с каждым числом можно связать степень порядка оператора ℛ. Все сказанное ниже об операторах ℛ и его степенях будет иметь естественные аналоги и для оператора и его степеней , только следует иметь в виду, что оператор естественно рассматривать (в частности, чтобы определить его дробные степени) на пространстве , профакторизованном по константам, т.е. на Отметим, что = для всех , где - срез-функция, т.е. Эта формула, позволяет сводить многомерные результаты об операторе к одномерным. Оператор при будем называть оператором дробного дифференцирования порядка α, а при α<0 - оператором дробного интегрирования порядка Замечание 1. Для упрощения записи все рассуждения ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных. Класс охватывает ряд известных классов , а также содержит новые, ранее не описанные классы. Выделим некоторые подклассы функций из класса . Прежде всего =а условие (1) в этом случае принимает вид или Обозначим через класс функций представимых рядом и удовлетворяющих условию исследован в [5,с.5]. Интересным является класс голоморфных функций для которой приведен и доказан критерий принадлежности голоморфных функций ∊ Теорема 1[6, с.20]. Функция ∊ тогда и только тогда, когда где и для которых Подкласс класса голоморфных функций ранее был исследован польскими математиками [7]. Интересными представляются классы функций удовлетворяющих условию звездной однолистности порядка Обобщениями классов являются классы функций или даже обще Bопрос исследования данных классов функций остается пока открытым. В пространстве вводятся следующие области: гиперконус поликруг , логарифмически выпуклая ограниченная полная двоякокруговая область а также множества: , (4a) (5) (6) где (7) (8) (9) и величины: (10) , где ; (11) а определены в (7) - (9). Теорема 2. [8, с.5]. Для функций в, где справедливы оценки: , (17) (18) Доказательство теоремы проводится с помощью срез-функций вида и результатами теорем [9, с.313]. Покажем теперь точность полученных оценок (17) и (18) в областях и и построим соответствующие экстремальные функци. Следствие 1. Пусть ∊. Тогда в имеем оценки: , (1) (2) где . Следствие 2. Если функция, , то в справедливы оценки: , (3) (4) где и . Положим Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о точности оценок (1), (2), (3) и (4). Оценки (1) и (2) в случае области достигаются функцией , а для случая области на множестве функцией . Наконец, оценки (3) и (4) на множестве точные и достигаются функцией ψ= В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы оценки сумм [10,с.165]: , , для всех ,содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов функций из рассматриваемых классов. Эти коэффициенты оцениваются через характеристики областей Поэтому для конкретных областей необходимо уметь вычислить Для тех областей , границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также для бикруга, величины вычисляются эффективно. Вычисление величин входящих в оценки коэффициентов Тейлора представляют определенные трудности, которые удается преодолеть для областей Из множества логарифмически выпуклых полных областей Рейнхарта выделим класс который совпадает с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы. По критерию принадлежности к классу ограниченной области [11;c.6] существует единственная система положительных вещественных непрерывных функций , таких, что , , Функции называются радиусом параметризации области . B [12; c.71] показано, что если и , то по радиусам параметризации функция определяется решением системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка Радиусы параметризации области удовлетворяют соотношениям: Радиусы параметризации используются в интегральных представлениях, в многомерной геометрической теории функций комплексного переменного при получении оценок и в теории целых функций при описании характеристик роста. Как доказал А.А.Темляков [13,с.977], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде: , 0≤ где ∞, и , . В частности, при отсюда получаем равенство = . Такое параметрическое представление области позволяет эффективно вычислить . Действительно, в этом случае, как легко установить, при для области класса считая [1, с.42]. Нетрудно заметить, что . Приведем достаточное условие принадлежности , в виде многомерного аналога гипотезы Бибербаха [15]. Как было ранее установлено [10,с.167] в классе функций оценки коэффициентов Тейлора имеют место оценки: Здесь везде Для функций оценки коэффициентов Тейлора в бикруге [14,с.29] имеют вид: Для функций [14,c.30] в гиперконусе , где граница этой области представима в параметрическом виде: , имеют место оценки коэффициентов Тейлора: В качестве последнего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области . Отметим, что тогда и только тогда, когда В области радиусы параметризации имеют вид [16,с.79] , где , и тогда

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.