ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ О РАЗДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВ «РАССАДА» И «БРЮССЕЛЬСКАЯ КАПУСТА» Маматов М.Ш.,Жабборов М.М.

Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Ташкент, Узбекистан


Номер: 5-1
Год: 2016
Страницы: 16-20
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

игра, играющий, покрытия, топологические игры, позиции, game, playing, cover, topological game, position

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Работа посвящена изучению одного класса топологических игр, которые происходят на плоскости. С помощью теоремы Эйлера о графах получены достаточные условия, которые обеспечивают завершение игры.

Текст научной статьи

Термин топологическая игра был впервые введен Берге [1], который определил основные идеи и формализм по аналогии с топологическими группами. Оказывается, что некоторые фундаментальные топологические конструкции имеют естественный аналог в топологических играх, примеры из них свойство Бэра, бэровские пространства, полнота и свойства сходимости, свойства разделения, покрытия, непрерывные образы, множества Суслина, и сингулярное разложение. В то же время, некоторые топологические свойства, которые возникают естественным образом в топологических играх могут быть обобщены за пределы теоретика - игровой контекст в силу этой двойственности, топологические игры широко используются для описания новых свойств топологических пространств. Как известно Д.Х.Конуэйом и М.С. Патерсоном созданная игра «Рассада» начинается с того, что на листе бумаги расставляют точек [2,281]. Делая очередной ход, играющий проводит линию, либо соединяющую одну точку с другой, либо описывающую замкнутую петлю и возвращающуюся в исходную точку, и затем ставит на проведенной линии новую точку. Правила игры следующие: 1) линия может иметь любой вид, но не должна иметь точек самопересечения, пересекать ранее проведенные линии или проходить, через ранее поставленные точки, не служащие ее началом и концом; 2) из каждой точки должно выходить не более трех линий. Играющие по очереди проводят линии. Победителем считается тот, кто сумеет провести последнюю линию. Д.Х.Конуэй [3] показал, что игра «Рассада» заканчивается не более чем через ходов и не может закончиться раньше, чем ходов, где - число точек в начальной позиции. Строгое доказательство этого факта основывается на теорему Жордана о замкнутой кривой. Игра «Брюссельская капуста» изобретена Д.Х.Конуэйом и она формулируется следующим образом, На листе бумаги расставляют крестиков. Очередной ход в «Брюссельской капусте» состоит в том, что свободный конец одного из крестов соединяет со свободным концом другого и на проведенной кривой ставит поперечную черточку - «перекладину» нового креста. Дав другим концам нового креста, следует считать «отмершими», поскольку они уже «заняты» проведенной кривой, а использовать дважды одну и ту же оконечность креста нельзя. Так же как в «Рассаде», кривые, проводимые при игре в «Брюссельскую капусту», не должны иметь точек самопересечения или пересекаться с ранее проведенными кривыми. Победителем игры считается тот из игроков, кто делает последний ход. Нетрудно доказать, что в игре «Брюссельская капуста» нельзя играть ни хорошо, ни плохо, т.е. каждая партия игры заканчивается ровно через ходов, где - число крестиков в начальной позиции [4,117]. Таким образом, в этой игре при нечетном выигрывает первый игрок, при четном - второй. Мы в этой работе будем рассматривать обобщенные топологические игры «Рассада », «Брюссельская капуста », «Рассада », «Брюссельская капуста ». Обобщенная игра «Рассада ». «Рассада » начинается с того, что на листе бумаги расставляют точек, из каждой которых должно выходить не более четырех линий. Делая очередной ход, играющий проводит линию, либо соединяющую одну точку с другой, либо описывающую замкнутую петлю и возвращающуюся в исходную точку, и затем ставит на проведенной линии новую точку. Правила игры следующие: 1) линия может иметь любой вид, но не должна иметь точек самопересечения, пересекать ранее проведенные линии или проходить, через ранее поставленные точки, не служащие ее началом и концом; 2) из каждой новой проставленной точки должно выходить не более трех линий. Играющие по очереди проводят линии. Победителем считается тот, кто сумеет провести последнюю линию. Для удобства введем следующие обозначения: - точки в начальной позиции, - число ходов, - число свободных ходов, т.е. число возможных проводимых линий, -число свободных направлений в конце игры. Нами доказана следующая теорема. Теорема 1. Обобщенная игра «Рассада » заканчивается не более чем через ходов и не может закончиться раньше, чем ходов, где - число точек в начальной позиции. Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы основывается на следующих лемм. Лемма 1. Число свободных ходов игры через ходов будет в виде . Доказательство леммы 1. Доказательство проводим с помощью метода математической индукции. При , это означает, что в начале игры имеется точек из каждого которых выходит четыре направления. Предположим, что при и покажем что при . Для этого изменение числа свободных ходов за каждый ход обозначим через , тогда . Ясно, что . Отсюда получим Лемма доказана. Лемма 2. Для число свободных ходов игры имеет место неравенство и он от до монотонно убывает, где -число свободных направлений оставшиеся в конце игры. Доказательство леммы 2. При , и из того, что получим, что монотонно убывает. так как каждый ход соединяет два направления и добавляет одно направление и значит . Лемма доказана. Теперь продолжим доказательство теоремы 1. По лемме 1 имеем и по лемме 2 получим . И значит этим первая часть теоремы 1 доказана. Лемма 3. Для числа грани графа, которое получено в конце игры имеет место неравенство . Доказательство леммы 3. Доказательство проводим с помощью метода математической индукции. При неравенство верно . Предположим, что неравенство при верно, т.е. и докажем, что оно верно при т.е. . По предположению при для числа грани графа имеет место неравенство , если из любой грани отмечая одну точку и продолжит игру, то выходящей из этой точки три направления этой грани разделяет на три грани. Это означает, что число граней увеличивается на два, отсюда получим . Лемма доказана. Лемма 4. Для числа грани графа, которое получено в игре через ходов имеет место равенство . Доказательство леммы 4. По правиле игры имеем и . По теореме Эйлера , отсюда получим и значит , что и требовалось доказать. Вернемся еще раз доказательству теоремы 1. Используя леммы 3,4 получим и . Из них имеем Значит, верно следующее неравенство Теорема 1 доказана полностью. Обобщенная игра «Брюссельская капуста ». Игра начинается с того, что на листе бумаги расставляют точек, из каждой которых должно выходить не более трех линий. Делая очередной ход, играющий проводит линию, либо соединяющую одну точку с другой, либо описывающую замкнутую петлю и возвращающуюся в исходную точку, и затем ставит на проведенной линии новую точку. Правила игры следующие: 1) линия может иметь любой вид, но не должна иметь точек самопересечения, пересекать ранее проведенные линии или проходить, через ранее поставленные точки, не служащие ее началом и концом; 2) из каждой новой проставленной точки должно выходить не более четырех линий. Играющие по очереди проводят линии. Победителем считается тот, кто сумеет провести последнюю линию. Имеет место следующая теорема. Теорема 2. Обобщенная игра «Брюссельская капуста » заканчивается ровно через ходов, где - число точек в начальной позиции. Доказательство теоремы 2. Докажем следующее утверждение:1) По условию игры в конце получается граф с вершинами , так как игра начинается с точек - вершин и за шагов добавляется точек-вершин; 2) В конце игры полученный граф имеет ребро, так как на каждом шаге добавляется два ребра; 3) В конце игры полученный граф имеет грани. Докажем последнее утверждение. В полученном графе каждой грани в некоторой точке остается единственное открытое направление. Если число открытых направлений обозначим через , тогда число граней графа будет . Если через обозначим число всевозможных направлений, то , так как игра начинается с направлением и за каждый шаг добавляется направления. С другой стороны в каждом шаге соединяется направления, значит . Отсюда имеем Теперь найдем связь между и . По теореме Эйлера имеет место следующее равенство .Отсюда получим Теорема доказана полностью. Обобщенная игра «Рассада ». На листе бумаги расставляем два типа точек: точек, из каждой которых должно выходить не более трех линий, точек, из каждой которых должно выходить не более четырех линий. Делая очередной ход, играющий проводит линию, либо соединяющую одну точку с другой, либо описывающую замкнутую петлю и возвращающуюся в исходную точку, и затем ставит на проведенной линии новую точку. Правила игры следующие: 1) линия может иметь любой вид, но не должна иметь точек самопересечения, пересекать ранее проведенные линии или проходить, через ранее поставленные точки, не служащие ее началом и концом; 2) из каждой новой проставленной точки должно выходить не более трех линий. Играющие по очереди проводят линии. Победителем считается тот, кто сумеет провести последнюю линию. Нами доказана для этой игры следующая теорема. Теорема 3. Обобщенная игра «Рассада » заканчивается не более чем через ходов и не может закончиться раньше, чем ходов, где - число точек в начальной позиции. Обобщенная игра «Брюссельская капуста ». На листе бумаги расставляем два типа точек: точек, из каждой которых должно выходить не более трех линий, точек, из каждой которых должно выходить не более четырех линий. Делая очередной ход в игре «Брюссельская капуста », играющий проводит линию, либо соединяющую одну точку с другой, либо описывающую замкнутую петлю и возвращающуюся в исходную точку, и затем ставит на проведенной линии новую точку. Из каждой новой проставленной точки должно выходить не более четырех линий. Так же как в «Рассаде», кривые, проводимые при игре в «Брюссельской капусте », не должны иметь точек самопересечения или пересекаться с ранее проведенными кривыми. Победителем игры считается тот из игроков, кто делает последний ход. Имеет место следующая теорема. Теорема 4. Обобщенная игра «Брюссельская капуста » заканчивается ровно через ходов, где - число точек в начальной позиции. Замечание. 1)Аналогичные результаты получены, когда игра происходит на поверхности тора , вложенного в . Эти результаты можно перенести, когда игра происходит на ориентируемой поверхности рода , используя Эйлерова характеристики этой поверхности, которая равна . 2) Отметим, что ответ на вопрос отыскание оптимальной стратегии для игры «Рассада» и обобщенной игры «Рассада », «Рассада » остаётся открытым.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.