О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ ИЗЛОЖЕНИЯ КУРСА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ Лебедев И.А.,Яковлева А.А.

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»


Номер: 5-4
Год: 2016
Страницы: 51-53
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

матрица, определитель, система линейных уравнений, matrix, determinant, system of linear equations

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В данной работе мы рассматриваем изложение темы «Определители» в рамках курса линейной алгебры в техническом университете.

Текст научной статьи

В связи с массовым введением программ подготовки бакалавров и сокращением часов на изучение фундаментальных дисциплин, возникает проблема доступного и короткого изложения обязательных разделов. Мы остановимся на удобном способе изложения темы «Определители», основанном на рекуррентном соотношении (правиле разложения определителя по строке или столбцу), и введем понятие определителя и обоснуем его свойства на уровне правдоподобия (в смысле Пойа [1]), достаточным для технологических специальностей практической направленности. Такой подход проще и короче, чем традиционный ([2], [3]), и может быть развернут и в строгое рассуждение. Определитель - число, сопоставляемое каждой квадратной таблице чисел по правилу разложения. Обозначение - две вертикальные черты, окаймляющие таблицу чисел слева и справа. Порядок определителя задается размером квадратной таблицы. В общем виде определитель удобно записывать с помощью элементов , где номер строки, номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, определитель второго порядка имеет вид: Дополнением элемента называется определитель меньшего порядка, полученный вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент. Например, для определителя третьего порядка дополнением элемента является (вычеркнули вторую строку и третий столбец). Алгебраическим дополнением .элемента называется дополнение со знаком: . Например, алгебраическое дополнение рассмотренного элемента равно . Знаки алгебраических дополнений элементов определителя задаются в шахматном порядке, начиная с плюса для элемента в левом верхнем углу. Правило разложения. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. При этом определителем первого порядка, т.е. от одного числа, считается само это число. Например, разлагая определители второго и третьего порядков по первой строке, имеем (1) (1) Выражение (1) будет формулой для вычисления определителя второго порядка. Нетрудно показать, что (1) не зависит от способа разложения. Примеры: ; Так как определитель большего порядка по правилу разложения можно свести к определителям второго порядка, то значение определителя не зависит от способа его разложения. Следовательно, строки и столбцы равноправны относительно свойств определителя. Основные свойства определителя: 1. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя. Следствие. Если в определителе две строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю. В частности, если строка (столбец) нулевая, то определитель также равен нулю. 2. Если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель, то значение определителя не изменится. 3. Если поменять местами любые две строчки (столбцы), то определитель изменит знак. Используя второе свойство, можно предварительно получить нули в какой-либо строке (или в столбце) и разложить определитель по этой строке (столбцу). Нули в строке получают с помощью столбцов, а в столбце - с помощью строк. Это проще всего сделать, используя элемент, равный ±1. Если в определителе нет такого элемента, то его следует сначала подготовить. Например, для рассмотренного определителя третьего порядка получим единицу, вычитая из третьей строки первую: Затем, чтобы на месте выделенных элементов первого столбца получить нули, прибавим ко второй строке третью, умноженную на 5, и к первой строке третью, умноженную на (-2), и, наконец, разложим определитель по первому столбцу с двумя нулями: Такой прием получения нулей в строке или в столбце позволяет упростить вычисление определителя и сразу свести его к одному определителю на единицу меньшего порядка (так как . Правило Крамера. Для решения квадратных систем линейных уравнений (число уравнений равно числу неизвестных) по методу Крамера используют главный определитель, образованный столбцами коэффициентов при неизвестных (это определиткль квадратной матрицы системы, и вспомогательные определители : полученные из главного определителя заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов. Правило Крамера. 1. Если главный определитель то существует единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: 2. Если главный определитель = 0, а хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то система несовместна (нет решения). Формулы Крамера показывают, что определители, действительно, определяют решение систем линейных уравнений.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.