СВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ФРЕДГОЛЬМА Асадова О.Г.,Мамедова Н.Г.,Аббасова А.Х.

Бакинский государственный университет


Номер: 6-1
Год: 2016
Страницы: 7-10
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

граничная задача, метод потенциалов, уравнение Фредгольма, boundary problem, potentials method, Fredholm equation

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Представленная статья посвящена исследованию одной граничной задачи для уравнения шестого порядка,зависящей от комплексного параметра.Как известно,к решению таких задач применяется метод потенциалов [1;2;3;4]. Работа является продолжением работ [5;6] и посвящена исследованию граничной задачи для уравнения содержащего третью степень оператора Лапласа.Доказано,что решение можно искать в виде суммы специальных потенциалов,построенных с помощью фундаментального и частных решений данного уравнения.В силу схемы применяемого метода, также доказаны необходимые формулы скачка для этих потенциалов и их производных [5].

Текст научной статьи

Рассматривается задача нахождения решения уравнения , (1) удовлетворяющего граничным условиям (2) где-оператор Лапласа, -комплексный параметр не нарушая общности можно взять ,-конечная правильная область, с границей , -направление нормали к границе ,, достаточно гладкие функции в области своих определений. Предполагается выполнение условий 10.Действительные части корней характеристического уравнения (3) различны и отрицательны т.е.. 20.Граница области D является поверхностью Ляпунова и уравнение поверхности обладает непрерывными ограниченными производными до второго порядка . 30.Граничные функции обладают непрерывными ограниченными производными до второго порядка при всех . Принимая во внимание,то что решение неоднородного уравнения строится с помощью функции Грина, определяемой формулой , (4) где (5) причем фундаментальное решение уравнения (1), а регулярная часть функции Грина и в силу свойства получаем, что неизвестная функция является решением однородного уравнения , (1') удовлетворяющее граничным условиям (2') где , по-прежнему , направление внутренней нормали к границе в точке области , а . В силу вышесказанного, в настоящей работе будет исследована задача (1),(2) для однородного уравнения. Аналогично тому, как это сделано в [5], решение уравнения , (6) удовлетворяющегограничным условиям (2),ищется в виде суммы специальных потенциалов (7) где (7') (8) . (9) -фундаментальное решение, а некоторое частное решение уравнения (6), имеющее слабые точечные особенности. Пользуясь формулами скачка для потенциалов и их производных (см. [5]) для неизвестных плотностей , получаем следующую систему интегральных уравнений (10) где Причем , , , , ,. Непосредственной проверкой, аналогично тому, как это сделано в [5], доказывается справедливость оценки для ядра (11) где число Ляпунова, для которого справедливо неравенство, при всех. Следовательно, интегральное уравнение (10) фредгольмово и имеет решение представимое в виде , где -резольвента ядра , которая является аналитической и ограниченной функцией по в области и для которой имеет место оценка типа (11) при всех . Теорема:При выполнении условий 10,20,30,существует решение задачи (1),(2), представимое в виде суммы специальных потенциалов (7), где определяются формулами (7')-(9) с помощью фундаментального решения и частного решения определяемые формулами (5) и (5'). Наконец, непосредственной проверкой доказывается, что для решения задачи имеют место оценки , , при всех и где расстояние от точки до , а . Таким образом полностью доказывается существование решения задачи (1),(2).

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.