ЭФФЕКТИВНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕЙЛОРА В КЛАССЕ «БЛИЗКИХ» ФУНКЦИЙ N(A,B) Султыгов М.Д.

Ингушский государственный университет


Номер: 6-1
Год: 2016
Страницы: 25-30
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Оператор дифференцирования, гиперконус, поликруг, логарифмически выпуклые полные двоякокруговые области Рейнхарта, коэффициенты Тейлора, The differential operator, hyperconus, polydisk, logarithmically convex complete docucrease region Reinhart, the coefficients of the Taylor

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Текст научной статьи

Будем говорить, что , принадлежит классу если существует функция [1,с 39] такая, что в Иногда будем называть «близкой» к соответствующей функции . Здесь , [2,с.10]. Обратным к оператору является оператор Алгебру всех голоморфных в области функций будем обозначать символом . В пространстве вводится топология равномерной сходимости на компактных подмножествах . Все результаты работы публикуются впервые. Отметим несколько свойств операторов дифференцирования [3,с.132]: Легко видеть, что если = есть степенное разложение функции , то () ( (ℛ f)(z) и с каждым числом можно связать степень порядка оператора ℛ. Все сказанное ниже об операторах ℛ и его степенях будет иметь естественные аналоги и для оператора и его степеней , только следует иметь в виду, что оператор естественно рассматривать (в частности, чтобы определить его дробные степени) на пространстве , профакторизованном по константам, т.е. на Отметим, что = для всех , где - срез-функция, т.е. Эта формула, позволяет сводить многомерные результаты об операторе к одномерным. Оператор при будем называть оператором дробного дифференцирования порядка α, а при α<0 - оператором дробного интегрирования порядка Замечание. Для упрощения записи все рассуждения ниже проводятся для случая двух комплексных переменных, однако полученные результаты легко переносятся на случай многих комплексных переменных. Цель статьи - доказать достаточное условие принадлежности голоморфной функции к классу и привести эффективные оценки коэффициентов Тейлора в областях Рейнхарта. В приложениях геометрической теории функций многих комплексных переменных необходимы оценки сумм [4,с.165]: , , для всех ,содержащих коэффициенты Тейлора и точные оценки самих коэффициентов функций из рассматриваемых классов. Теорема 1. Если функция , при справедлива оценка: Доказательство теоремы проводится с помощью результата из [5,с.35] и работ [6;7]. Доказательство. Так как ,то (1) можно представить в виде ) [5, c.7] (2) Принимая во внимание полноту области , введем в рассмотрение следующие срез функции: где В функциях (3)-(5) фиксированное значение параметра из сегмента В силу определения класса в при любом фиксированном функции голоморфны и Принимая во внимание (3)-(5),запишем (2) в виде или = Отсюда следует, что Сравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях получаем неравенство Принимая во внимание из [5,с.35] и второе неравенство из [8,с.29] при которое запишем в виде из (6) найдем, что или в окончательном виде при Итак, Так как любое фиксированное число из ,то при любом значении параметра из промежутка мы имеем Полагая в последнем неравенстве ,получим В силу произвольного выбора точки последняя оценка приводит к утверждению теоремы. Теорема 2.Для функций при имеем оценки коэффициентов Тейлора: Следствие 1. При получим оценку полученная ранее И.И.Бавриным в Коэффициенты Тейлора оцениваются через характеристики областей которые для конкретных областей необходимо уметь вычислить Для тех областей , границы которых дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы извне, а также для бикруга, величины вычисляются эффективно. Вычисление величин входящих в оценки коэффициентов Тейлора представляют определенные трудности, которые удается преодолеть для областей Из множества логарифмически выпуклых полных областей Рейнхарта выделим класс который совпадает с классом выпуклых ограниченных полных двоякокруговых областей с центром в начале координат, границы которых дважды непрерывно дифференцируемы. По критерию принадлежности к классу ограниченной области [9;c.6] существует единственная система положительных вещественных непрерывных функций , таких, что , , Функции называются радиусом параметризации области . B [10; c.71] показано, что если и , то по радиусам параметризации функция определяется решением системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка Радиусы параметризации области удовлетворяют соотношениям: Радиусы параметризации используются в интегральных представлениях, в многомерной геометрической теории функций комплексного переменного при получении оценок и в теории целых функций при описании характеристик роста. Как доказал А.А.Темляков [11,с.977], границу этой области можно представить в следующем параметрическом виде: , 0≤ где ∞, и , . В частности, при отсюда получаем равенство = . Такое параметрическое представление области позволяет эффективно вычислить . Действительно, в этом случае, как легко установить, при для области класса считая [5, с.42]. Нетрудно заметить, что . Теорема 3. Для функций имеем эффективные оценки коэффициентов Тейлора вида: Теорема 4. Для функций в гиперконусе , где граница этой области представима в параметрическом виде: , имеем эффективные оценки коэффициентов Тейлора: В качестве последнего примера приведем аналог гипотезы Бибербаха в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области . Отметим, что тогда и только тогда, когда В области радиусы параметризации имеют вид , где , Теорема 5. Эффективные коэффициенты Тейлора в логарифмически выпуклой ограниченной полной двоякокруговой области имеют вид:

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.