О ВЛИЯНИИ НУЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА ОПТИМИЗИРОВАННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ Смирнов А.В.

Московский технологический университет (МИРЭА)


Номер: 7-1
Год: 2016
Страницы: 81-86
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

электрический фильтр, передаточная функция, оптимальность по Парето, нуль передачи, electrical filter, transfer function, Pareto optimality, transfer zero

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Исследуются возможности одновременной оптимизации нескольких показателей качества, характеризующих АЧХ и ФЧХ, в случаях, когда передаточная функция электрического фильтра не имеет нулей передачи, имеет нули только на мнимой оси, в левой, в правой, или в обеих половинах комплексной плоскости. Для оптимизации применяется метод численного поиска глобального экстремума мультимодальной целевой функции.

Текст научной статьи

Синтез электрических фильтров с оптимальными по каким-либо показателям качества (ПоК) характеристиками является одной из основных задач теории электрических цепей. Возможности аналитического решения таких задач ограничены. В связи с этим применение для поиска решений численных методов и компьютеров является предметом исследований на протяжении уже более полувека [1, 7; 2]. Численные методы могут не только использоваться при решении конкретных задач, но и помогать находить ответы на общие вопросы. Один из таких вопросов - влияние количества и расположения нулей передаточной функции (ПФн) на АЧХ и ФЧХ фильтра. ПФн электрического фильтра, построенного на элементах с сосредоточенными параметрами, имеет вид (1) где N(p) и D(p) - полиномы степеней nN и nD, корни которых являются, соответственно, нулями и полюсами ПФн. Можно с уверенностью предположить, что увеличение степени одного из полиномов при фиксированном значении степени другого полинома приведет к улучшению потенциально достижимых ПоК фильтра. Но ответ на вопрос, что даст большее улучшение - увеличение числа полюсов или увеличение числа нулей, неочевиден. Далее, для обеспечения физической реализуемости ПФн все ее полюсы должны находиться в левой полуплоскости комплексной частоты p. Что касается нулей, то они могут располагаться по всей комплексной плоскости, но особенности их расположения влияют на характеристики цепи. Для минимально-фазовой цепи, все нули ПФн которой находятся в левой полуплоскости, АЧХ и ФЧХ связаны преобразованием Гильберта [3, 63-69]. Поэтому такие ПоК, как неравномерность АЧХ в полосе пропускания и максимальное значение АЧХ в полосе задерживания с одной стороны, и нелинейность ФЧХ или неравномерность длительности задержки сигнала в полосе пропускания с другой стороны, оказываются взаимосвязанными, а возможности одновременного улучшения этих ПоК - ограниченными [4]. В случае неминимально-фазовой цепи, по меньшей мере, часть нулей ПФн которой расположены в правой полуплоскости, указанная связь АЧХ и ФЧХ отсутствует. Поэтому следует ожидать более широких возможностей одновременного улучшения ПоК, относящихся к АЧХ и к ФЧХ, по сравнению с минимально-фазовыми цепями с такими же степенями числителя и знаменателя ПФн [5]. Однако оценка наличия и величины такого улучшения аналитическими методами не получена. Вопрос о влиянии нулей на ПоК имеет большое практическое значение, так как связан со сложностью реализации фильтра. Так, в случае пассивных цепей с сосредоточенными параметрами, ПФн, имеющая только полюса, а также, при выполнении некоторых дополнительных условий [6], имеющая нули только на мнимой оси, может быть реализована простой лестничной схемой [3, 167-172]. Если же нули расположены в произвольных точках комплексной плоскости, схемная реализация значительно усложняется [7, 92-100]. Это относится и к активным фильтрам [8, 160-166]. Цель данной работы - сравнить ПФн с различными количествами полюсов и нулей и различным расположением нулей по совокупности ПоК, характеризующих АЧХ и ФЧХ фильтра. Сформулируем правило сравнения. Пусть количество используемых ПоК равно M. Обозначим П = {П1 .. ПМ} - вектор значений ПоК, Σ - M-мерное пространство векторов П. Будем определять все ПоК так, чтобы улучшению качества соответствовало уменьшение значения ПоК. Решение задачи оптимизации по нескольким ПоК основано на понятии оптимальности по Парето. Применительно к нашему случаю, оптимальными по Парето будут такие ПФн, для которых изменение координат полюсов и/или нулей или, что эквивалентно, изменение коэффициентов в числителе и/или знаменателе выражения (1), приводящее к улучшению одного из ПоК, приводит к ухудшению, по меньшей мере, одного из остальных ПоК. Точки П, соответствующие оптимальным в указанном смысле ПФн, образуют в пространстве Σ гиперповерхность - фронт Парето (ФП). Определим состав полюсов и нулей ПФн (кратко - состав ПФн) как набор параметров Ф = (P I L R), (2) где P - число полюсов, I - число нулей на мнимой оси, L и R - количества нулей, соответственно, в левой и правой половинах комплексной плоскости. Для каждого состава ПФн Ф1 может быть получено множество оптимальных по Парето ПФн, которые имеют один и тот же состав Ф1, но различаются координатами полюсов и нулей и значениями ПоК. В пространстве Σ этому множеству ПФн соответствует ФП. Для получения однозначного результата сравнения ПФн с разными составами Ф1 и Ф2 необходимо, во-первых, сравнивать оптимальные по Парето ПФн, во-вторых, сравнение должно выполняться по одному ПоК при равных значениях остальных ПоК. Пусть Пk - ПоК, по которому выполняется сравнение. Обозначим Σ' - (M-1)-мерное пространство значений остальных ПоК. Установим, что ПФн с составом Ф1 лучше ПФн с составом Ф2 по Пk при изменении остальных ПоК в пределах области Λ' Σ', если для любой точки П' Λ' выполняется неравенство Пk1 < Пk2, где Пk1 и Пk2 соответствуют точкам ФП ПФн с составами Ф1 и Ф2, координаты которых по остальным ПоК совпадают с координатами П'. Наглядно можно представить, что ФП ПФн с составом Ф1 расположен ближе к гиперплоскости Пk = 0, чем ФП ПФн с составом Ф2 в пределах области Λ' изменения остальных ПоК. Таким образом, для сравнения ПФн с составами Ф1 и Ф2 необходимо построить соответствующие им ФП в пространстве показателей качества Σ. Методика решения этой задачи была изложена в статье [9]. В данной работе, как и в [9], рассматриваются аппроксимации ПФн ФНЧ-прототипов вида (1) с переходом к нормированной частоте (3) где fp - верхняя граничная частота полосы пропускания (ПП), которой соответствует нормированная частота Fp = 1. За нижнюю границу полосы задерживания (ПЗ) во всех случаях было принято значение Fs = 2. В качестве ПоК использовались следующие три величины: - неравномерность АЧХ в ПП DHp дБ; - максимальное значение АЧХ в ПЗ Hs дБ; - максимальное отклонение длительности задержки от ее среднего значения в пределах ПП DTd %. Такой выбор ПП, ПЗ и трех ПоК соответствует определениям, использованным в широко известных руководствах по теории электрических фильтров [3, 256; 7, 62-66; 10, 69-72]. Набор ПоК может быть и другим, например, более детально учитывающим поведение АЧХ и ФЧХ в полосе перехода. При этом полученные ниже результаты могут измениться. ФП для заданного состава ПФн получается в виде набора точек, каждая из которых является результатом поиска минимально достижимого значения DTd при заданных значениях DHp и Hs. Вид минимизируемой целевой функции (ЦФ) аналогичен приведенному в [9]: (4) Индекс t (target) отмечает задаваемое значение показателя. Значения переменных SP, SS, SD, ST, весовых коэффициентов WP, WS, WD и масштабирующего множителя MD рассчитываются или задаются на основании правил, приведенных в [9]. Переход от определенных выше ПоК к величинам SP, SS, SD и обратно осуществляется в соответствии с равенствами (5) Оптимизация ЦФ заключается в поиске ее глобального минимума в пространстве координат полюсов и нулей ПФн. Ограничения на область поиска, связанные с требованием физической реализуемости ПФн и с требованиями на расположение ее нулей, учитываются при задании координат на каждом шаге поиска. Такой подход значительно упрощает вычисления по сравнению с поиском в пространстве коэффициентов числителя и знаменателя ПФн, при котором требуется сложная проверка допустимости получаемых решений. В экспериментах использовался алгоритм оптимизации, включающий многократный случайный выбор начальной точки с последующим пошаговым поиском локального минимума. Результатом оптимизации является наименьший из всех найденных локальных минимумов. Как показали эксперименты, ЦФ (4) по характеристикам рельефа значений (fitness landscape), определения которых даны, например, в [11], относится к мультимодальным с большим количеством локальных минимумов и слабо выраженными глобальными закономерностями их значений. Вероятность найти глобальный минимум при сложном рельефе мала, поэтому находимые решения являются, как правило, лишь достаточно хорошими локальными минимумами, которые можно улучшить, продолжая поиск. В ходе экспериментов для получения каждой точки ФП выполнялось 1000 циклов локального поиска. В зависимости от суммарного количества полюсов и нулей ПФн это занимало от 1 до 10 минут на компьютере с процессором Intel Core 2, 1,87 ГГц, ОЗУ 2 ГБ. Уменьшения затрат времени, вероятно, можно достичь, используя какой-либо более совершенный алгоритм из числа занявших высокие места в сравнительных испытаниях [12] для ЦФ с аналогичными свойствами. Для получаемых оптимальных ПФн выполнялась проверка реализуемости пассивным четырехполюсником без потерь, нагруженным по входу и выходу на активные сопротивления. Первый шаг проверки - определение соотношения сопротивлений источника сигнала Rг и нагрузки Rн, при котором данная ПФн может быть получена в пассивной цепи. Поиск в каждом случае начинался с Rг / Rн =1 и продолжался в сторону уменьшения этого отношения, пока не выполнялось условие реализуемости [3, 190-195]. Второй этап проверки состоял в получении выражения для входного сопротивления Zвх, реализующего эту ПФн четырехполюсника, нагруженного на Rн = 1 Ом, и проверки соответствия Zвх критериям положительности и вещественности [3, 91-96]. Наконец, на третьем этапе, выполнявшемся только в случае расположения всех нулей на мнимой оси, проверялось выполнение условий реализуемости лестничной схемой [6]. Несколько неожиданным результатом экспериментов оказалось, что, во-первых, все находимые оптимальные ПФн реализуемы пассивными цепями при вполне приемлемом диапазоне значений отношения Rг / Rн от 1 до 0,15; во-вторых, все находимые оптимальные ПФн с нулями на мнимой оси реализуемы лестничными LC схемами. Что касается реализуемости ПФн активными фильтрами, то она обеспечивается автоматически, так как в процессе поиска полюсы ПФн могут находиться только в левой полуплоскости. Рассмотрим результаты экспериментов для нескольких характерных случаев (рис.1 и рис.2). Результаты представлены сериями точек на плоскости (DHp, DTd) для диапазона значений от 0,1 дБ до 5 дБ при Hs = -25 дБ и Hs = -40 дБ. Состав (2) полюсов и нулей ПФн для каждой серии показан в легенде к графикам. Как видно из рис.1, для ПФн 4-го порядка с Hs = -25 дБ введение двух нулей уменьшает значения ПоК DTd не больше, чем введение двух дополнительных полюсов, а при значениях ПоК DHp < 0,5 дБ, не больше, чем введение одного дополнительного полюса. При этом расположение нулей в правой полуплоскости дает даже меньший эффект, чем их расположение на мнимой оси или в левой полуплоскости. В случае Hs = -40 дБ введение двух нулей дает больший эффект, чем введение одного полюса, но меньший по сравнению с двумя дополнительными полюсами ПФн. При этом расположение нулей не влияет на результат. Рис.1. Результаты для фильтров порядка с 4-го по 6-й Результат введения двух пар нулей в фильтр 6-го порядка (рис.2) при Hs = - 25 дБ зависит от их расположения. Нули на мнимой оси или только в левой полуплоскости дают меньший эффект, чем введение не только четырех, но и меньшего числа дополнительных полюсов. В то же время, размещение одной и, тем более, обеих пар нулей в правой полуплоскости, то есть переход к неминимально-фазовой ПФн, создает выигрыш по сравнению с дополнительными полюсами. В случае Hs = - 40 дБ меньший эффект от нулей на мнимой оси и в левой полуплоскости по сравнению с дополнительными полюсами по-прежнему заметен. Однако и нули в правой полуплоскости не дают выигрыша относительно простого увеличения порядка фильтра за счет полюсов. Рис.2. Результаты для фильтров порядка с 6-го по 10-й Следует отметить, что, так как никакие серии точек на рис.1 и рис.2 не пересекаются, то выводы, аналогичные приведенным выше, справедливы и для сравнения фильтров по ПоК DHp при заданных ПоК Hs и DTd. Таким образом, в разных случаях влияние количества и расположения нулей ПФн на ПоК, характеризующие АЧХ и ФЧХ, оказывается различным. Сделать однозначный вывод, что неминимально-фазовые ПФн позволяют получать лучшие значения одновременно всех этих ПоК, не представляется возможным. Поэтому для обоснованного выбора состава полюсов и нулей ПФн, обеспечивающей получение заданных ПоК, необходим анализ различных вариантов. Такой анализ может быть выполнен с использованием описанной выше методики и реализующего ее программного обеспечения. Интерес представляет также сравнение ПоК для ПФн, полученных с помощью численного поиска, с ПоК для ПФн, найденных аналитически. В табл. 1 приведены параметры состава и значения ПоК для ПФн, приведенных в [10, 121-140], наиболее глубоком из известных автору исследовании аналитическими средствами возможностей одновременного получения заданных ПоК АЧХ и ФЧХ. Следует пояснить, что нечетные значения L и R означают, что помимо пар комплексно-сопряженных нулей, есть еще пара вещественных нулей симметричных относительно мнимой оси. Таблица 1 P I L R DHp дБ Hs дБ DTd % 1 4 0 1 1 6,57 -21,9 47,9 2 6 0 2 2 6,42 -24,6 40,0 3 8 0 3 3 6,34 -26,8 35,3 4 4 0 1 1 2,13 -20,8 28,5 5 6 0 2 2 3,78 -23,9 18,8 6 8 0 3 3 4,48 -26,3 21,5 7 5 0 1 1 0,51 -20,4 22,8 8 7 0 3 3 1,19 -21,1 11,6 На рис.2 для Hs = - 25 дБ показаны точки R7 и R8, соответствующие последним строкам табл.1. Эти точки находятся примерно на уровне ФП для состава ПФн (6 0 0 0), но ПоК Hs у них хуже на 4 - 4,5 дБ. Остальные точки из табл.1 окажутся на графике значительно выше этого ФП. Это показывает, что результаты численного поиска существенно превосходят ПФн, найденные аналитически. Этот вывод справедлив, конечно, для использованного набора ПоК, и может измениться при других критериях оценки АЧХ и ФЧХ. Изложенные результаты показывают, что применение современных методов позволяет расширить наши знания и возможности в таких, казалось бы, давно изученных областях, как теория электрических фильтров.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.