УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ, ЛИНЕЙНЫХ ПО БЫСТРОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Семенова М.М.

Самарский государственный экономический университет


Номер: 7-4
Год: 2016
Страницы: 6-9
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

декомпозиция сингулярно возмущенных систем, интегральное многообразие, управляемость, наблюдаемость, асимптотические разложения. Keyworlds: the decomposition of singularly perturbed systems, integral manifold, controllability, observability, asymptotic expansions

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В статье изучаются свойства управляемости и наблюдаемости систем, описываемых моделями многотемповых систем, линейных по быстрой переменной. Исследование проводится на основе метода декомпозиции математических моделей, отображающих свойства систем.

Текст научной статьи

В связи с интенсивным развитием авиации, космических исследований, химической промышленности и других областей науки и техники возникла потребность в использовании математических моделей, сочетающих в себе высокую размерность и вычислительную жесткость. В теории автоматического управления модели, описываемые системами сингулярно возмущенных уравнений, возникают практически всегда. Примерами могут служить гироскопические, электромеханические и другие системы. В частности, модели, линейные по быстрой переменной, применяются в теории гироскопических компасов. Рассмотрим модель сингулярно возмущенной управляемой системы вида (1) где - медленная и быстрая переменные, - управляющие воздействия, - малый положительный параметр, - векторные функции, -постоянные матрицы, - матричная функция, соответствующих размерностей, - время, точка обозначает дифференцирование по t. Пусть для системы (1) выполняются следующие условия [1]: 1) Собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству <0. 2) Функции имеют достаточное число равномерно непрерывных и ограниченных частных производных по всем аргументам при всех . При таких предположениях система (1) имеет интегральное многообразие [1, 18] медленных движений , движение по которому описывается системой . Функция является непрерывно дифференцируемой и . Функцию можно искать как асимптотическое разложение , из уравнения Введем переменные , переменная удовлетворяет уравнению, и рассмотрим расширенную систему: (2) где Система (2) имеет интегральное многообразие быстрых движений , движение по которому описывается системой: где Функция равномерно непрерывна и ограничена с достаточным числом частных производных по всем переменным и удовлетворяет неравенствам: Функцию можно искать как асимптотическое разложение , из уравнения причем при получаем Отсюда, Произведем в системе (1) замену переменных . (3) Используя уравнения для нахождения и считая, получим систему блочно-треугольного вида: (4) где При имеем: Рассмотрим модель (4) при условии, что , причем . Линейное приближение модели (4) в окрестности начала координат имеет вид: где . Справедлива теорема [2, 12]. Теорема 1. Пусть дана модель управляемого процесса (4) в вещественном пространстве размерности () с ограничивающим множеством , содержащим внутри себя точку . Предположим, что: 1) 2) 3) . Тогда существует такое , что при всех , область нуль-управляемости открыта в (то есть система (4) локально управляема в окрестности нуля). Рассмотрим задачу наблюдаемости двухтемповой системы вида (1), вводя измеряемую координату: (5) где - медленная и быстрая переменные, - управляющие воздействия, - измеряемая координата, - малый положительный параметр, - векторные функции, - постоянные матрицы; - матричные функции соответствующих размерностей, , точка обозначает дифференцирование по t. Произведем замену переменной (3) в системе (5). В результате получим систему: (6) где функции и а остальные функции определены выше в системе (4). Пусть , . Линейная модель для системы (6) в окрестности начала координат имеет вид: где определены выше. Справедлива теорема [2,13]. Теорема 2. Пусть дана модель наблюдаемого процесса (6) в и функции непрерывно дифференцируемые в окрестности точки с входными сигналами в и выходными сигналами в . Предположим, что 1) 2) 3) Тогда существует такое , что при всех , система (6) локально вполне наблюдаема вблизи начала координат. Штрих обозначает транспонирование. В качестве простого примера можно рассмотреть модель гироскопической системы.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.