ПОРЯДКОВАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ Калашников А.Л.

Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского


Номер: 8-1
Год: 2016
Страницы: 18-23
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

оптимальное управление, аппроксимация, k-задачи. порядковая, сходимость, optimal control, approximation, k-problems, ordinal convergence

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассматривается задача оптимального управления в КВ-линеале. Для исходной задачи имеется аппроксимирующая последовательность k-задач оптимизации. Представлены условия порядковой сходимости в более сильном смысле (относительно нормы) минимизирующей последовательности управлений, полученной на основе аппроксимирующих задач.

Текст научной статьи

Многие задачи оптимального управления представляются как задача минимизации функционала при ограничениях на состояние и управление в виде операторного равенства и функциональных неравенств. При этом - банахово пространство, а пространство управлений является КВ-линеалом с единицей , определенного в [1, 84]. Тогда в кроме метрических свойств имеются и порядковые. Например, если , а . Известно [1,199], что в КВ-линеале с единицей можно ввести подлинеал , состоящий из -ограниченных элементов, который также является КВ-линеалом [1,198].. При этом сходимость в влечет сходимость в к тому же пределу, но, вообще говоря, не наоборот. Поэтому в имеем более сильную метрику, чем в . Так для КВ-линеал и сходимость в будет почти всюду равномерная. Часто параметры исходной оптимизационной задачи определены с погрешностью. Поэтому реально имеем некоторую задачу, являющуюся приближением исходной. Возникает вопрос о близости оптимального множества приближенной и исходной задач. Примеры нарушения такой близости имеются в [2, 219]. В данной работе приводятся условия, когда множество оптимальных управлений аппроксимирующих задач сходится ко множеству оптимальных управлений исходной задачи в метрике . Отметим, что эти свойства получены здесь без применения стабилизатора, определённого в [2,165]. 1. Рассматривается 0-задача минимизации: , и при последовательность -задач: . Здесь операции , где ,- банаховые пространства, а есть КВ-линеал с единицей . Предположим, что функционалы и операции класса на . Назовем пространством управлений, а - пространством состояний. Далее за обозначим последовательность и , ее подпоследовательности, а в -задачах при . Пусть в любой -задаче существует - точка минимума и для всех уравнение имеет единственное решение класса . Например, это выполняется на основе теоремы о неявной функции [3,40]. Предположим, что при допустимые управления -задач принадлежат некоторому множеству , полученному, например, на основе одного из неравенств. Тогда, очевидно, все . Введем при функции Лагранжа , где . По [4,209] существуют с , для которых Пусть функционалы при , , где , - некоторые функционалы класса на . Для введем , при и . Допустим, что сопряженное является КВ-линеалом с единицей . Введем КВ-линеал , состоящий из -ограниченных элементов в и КВ-линеал из -ограниченных элементов в . Далее, - норма в , а в и символом - модуль в КВ-линеале или . Теорема 1. Пусть , и I) для любой имеем и компактна в ; II) существует , для которого ; III) существует линейный оператор с , что при всех ,, с ограничением будет ; IV) для любой с в существует в ; V) при равномерно и для всех . Тогда A) при оптимальные управления ; B) компактна в , а ее предельные точки являются -ограниченными допустимыми управлениями в 0-задаче. Доказательство. Из равенства при получаем или . (1) Поскольку . то из условия I) и по (1) . По условию II) . Отсюда . Поскольку и , то на основе условия III) получаем . Так как , то для некоторого числа . Но . Тогда для некоторого числа . Отсюда или , где . Тем самым и утверждение A) доказано. На основе включения и условия I) получаем компактность в . Так как , то нетрудно установить компактность в . Отсюда из (1) следует компактность в . Обозначим . Тогда и компактна в . На основе неравенства условия III) . Для компактности в достаточно показать, что у всякой ее существует сходящаяся в подпоследовательность. По компактности для существует сходящаяся в , которая будет фундаментальной в . Тогда для всех чисел существует номер N, что при получаем или для некоторого числа . Отсюда фундаментальна в и поэтому сходится. Таким образом, компактна в . Пусть - любая предельная точка для . Тогда существует с в . На основе условия IV) получаем в . Из сходимостей и следует . Используя непрерывность , и условие V) имеем при сходимости и . Но . Тогда . Так как , то в пределе для и, тем самым, предельная точка есть -ограниченное допустимое управление в 0-задаче и B) установлено. Теорема 1 доказана. 2. Назовем -задачи минимизирующими 0-задачу по функционалу, если . Обозначим - множество точек минимума в 0-задаче, а - подмножество -ограниченных . Приведём достаточные условия, когда -задачи минимизируют 0-задачу. Теорема 2. В условиях теоремы 1 и 1) существования такого, что при .Тогда -задачи минимизируют 0-задачу. Доказательство. По теореме 1 компактна в а ее предельные точки - допустимые в 0-задаче. Пусть в Тогда по условию IV) теоремы 1 . Отсюда . Из условия V) теоремы 1 и . Но .Тогда . На основе условия V) теоремы 1 . Поэтому существуют числовые последовательности , такие что (2) Поскольку - допустимое в 0-задаче, то из (2) и , получаем , а также для (3) Отсюда и Тогда для любой сходящейся для , которая по теореме 1 компактна в , будет компактна и и все её частичные пределы равны . Поэтому и k-задачи минимизируют 0-задачу. Теорема 2 доказана. Замечание 1. Условие 1) теоремы 2, в частности, будет выполнено, если и при . Тогда для решений уравнений и имеем для всех . При получаем и неравенства . Поэтому пара допустимая в -задаче и при . Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и -задачи минимизируют 0-задачу. Тогда компактна в , а ее предельные точки будут -ограниченными оптимальными управлениями в 0-задаче и . Доказательство. По теореме 1 и компактна в , а её предельные точки - допустимые и -ограниченные управления в 0-задаче. Пусть - такая точка. Тогда существует и в . На основе условия IV) теоремы 1 . Отсюда имеем неравенство . Используя условие V) теоремы 1, получаем , . Так как , то . По минимизируемости 0-задачи -задачами . Но . Поэтому и тогда . Поскольку же , то отсюда . Теорема 3 доказана. Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и существует - допустимое управление в -задаче для , такое что и при . Тогда , компактна в , а ее предельные точки принадлежат и Доказательство. По теореме 3 и компактна в . Из условия теоремы 4 и . Тогда и нетрудно установить, что будет тоже компактна в , а её предельные точки совпадают с предельными для и, тем самым, принадлежат . Пусть - любая предельная точка для в и в Так как , то в На основе условия IV) теоремы 1 имеем и . Отсюда и . Поэтому на основе условие V) теоремы 1 и определения функционалов получаем . Но . Тогда и, следовательно, компактная. Очевидно - её единственный частичный предел и поэтому существует Теорема 4 доказана. 3. Приведем условия порядковой сходимости оптимальных множеств аппроксимирующих -задач к в -порядковой метрике. Введем расстояние в между и множеством . Теорема 5. В условиях теорем 3,4 Доказательство. По теореме 3 . По теореме 4 и поэтому существует . Докажем, что компактна. По теореме 4 компактна в , а ее предельные точки принадлежат . Пусть - любая подпоследовательность для .По компактности в существует в некоторая для которой . Нетрудно проверить неравенство . Но . Поэтому Тогда компактна и все её сходящиеся подпоследовательности имеют нулевой частичный предел. Очевидно, . Тогда существует или Полагая получаем Теорема 5 доказана. Из теоремы 5 следует, что и ее аппроксимация сходятся к в пространстве с более сильной метрикой по сравнению с метрикой в U. 4. Вышеприведённая теория статьи применима к задаче оптимального управления. Для этого рассмотрим 0-задачу: , (4) . Пусть имеется последовательность -задач: , (5) , где состояние , а управление . Здесь - матрицы размера и - вектор-функции, а При этом функции , , , класса для всех , и , В работе [5] приводятся условия выполнения вышеизложенных теорем для -задач и применения их к задачам оптимального управления (4),(5). Здесь КВ-линеал и единица . Сходимость в будет почти всюду равномерная из которой следует среднеквадратичная в , что означает более сильную метрику пространства . Нетрудно показать, что задачи (4),(5) получаются известным образом [2.30] из задачи оптимального управления динамической системы и переходом от дифференциального уравнения на состояние к интегральному.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.