УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Шаршенбеков М.М.

Национальная Академия наук Кыргызской Республики


Номер: 8-1
Год: 2016
Страницы: 29-34
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

задача Коши, суммарно-разностное уравнение, операторное исчисление, Cauchy problem, summary-difference equations, operational calculus

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Данная работа посвящена проблеме разрешимости задачи Коши для однородных суммарно-разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Методом операторного исчисления получено условие разрешимости начальной задачи.

Текст научной статьи

Рассматривается однородное суммарно-разностное уравнение с постоянными коэффициентами , (1) где - искомая функция; - постоянные коэффициенты; - заданная функция. Для уравнения (1) задача Коши ставится так: найти целую функцию , удовлетворяющую уравнению (1) при и начальным условиям: . (2) Известным методом [2] получается изображение общего решения в виде отношения двух полиномов , (*) где полином определенным образом зависит от начальных данных искомой целой функции . При ( и степени полиномов и соответственно) оригинал для (*) будет решением суммарно-разностного уравнения (1) только лишь при выполнении определенных зависимостей между и где - некоторое натуральное число. Число определяется по данному уравнению и является важной характеристикой для суммарно-разностных уравнений. Предварительный анализ показал, что необходимо различать следующие три случая: 1. ; 2. ; 3. . Первые два случая были рассмотрены в работе [7]. В данной работе рассматривается коэффициентный признак разрешимости задачи Коши для случая: . Если , то для разрешимости задачи Коши (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условий . (3) Если произвести сдвиг по на , то будем иметь . (4) При получим . (5) Во второй сумме , стоящей в правой части (5), производя подстановки , и меняя порядок суммирования, имеем . (6) Итак, (4) с учетом (5) и (6) принимает вид (7) Следует иметь в виду, что (7) справедливо только при . Случай III. Справедлива Теорема. Если , то для разрешимости задачи Коши (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ; (8) ; (9) . (10) Доказательство. Из (7) с учетом и пределов изменения как и в случае II [7], получим условия (8) и (9). Теперь осталось установить условие, порождаемое равенствами . Если до сих пор все условия могли быть получены из (7), то теперь это не представляется возможным, ибо соотношение (7) справедливо только при . Поэтому придется обратиться непосредственно к (4) и соответственно преобразовать его для случая . При вторую сумму из (4) можем представить в виде . (11) Вторую и третью суммы в фигурных скобках обозначим, соответственно, через и . С помощью подстановок и замены порядка суммирования для будем иметь . (12) В производя замены и представляя порядок суммирования, получим . Но внутренняя сумма при и соответственно в силу и обращается в нуль. Поэтому , или, полагая , будем иметь . (13) Таким образом, в силу (11), (12) и (13) при (4) может быть представлено в виде или (14) ибо согласно , каким бы ни было число . Далее, в (12), с одной стороны, внутренняя сумма в силу при обращается в нуль, с другой стороны, . Поэтому при , т.е. имеем . (15) Из (14) с учетом (15) получим . (16) Полагая в обеих частях (16) , находим . (17) В случае мы не можем сделать какое либо определенное заключение о соотношении между степенями полиномов и . Действительно, из в виду заключаем . (18) При из имеем . (19) Следовательно, на основании (18) и (19) . (20) Но и ибо . Для выяснения вопроса о соотношении между степенями и требуется дальнейшее исследование. В силу (20) все коэффициенты полинома из (**) при степенях, больших , заведомо обращаются в нуль. С учетом этого из (**) при имеем , (21) где ; (22) ; (23) (24) а коэффициенты , (25) единственным образом определяются через начальные значения. Из (22), (23) и (24) видно, что . (26) Итак, изображение общего решения уравнения (1) в случае всегда можно представить в виде , (27) с одной стороны, (27) является изображением общего решения суммарно-разностного уравнения (1) в случае , но с другой стороны, изображению (22) соответствует оригинал только лишь при условии . (28) При выполнении условий (8)-(10) суммарно-разностное уравнение (1) непременно имеет решение. Следовательно, при выполнении условий (8)-(10) так же будет выполнено равенство (28), что, согласно (22), эквивалентно равенствам . (29) Однако, равенства (8)-(10), с одной стороны, и (29) с другой стороны, в общем случае эквивалентны. Поэтому оригинал для изображения , (30) также всегда будет решением исходного суммарно-разностного уравнения.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.