КВАДРАТИЧНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЕСА ВТОРОГО РОДА НА БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ Абдукаримов А.М.,Жадилов Б.М.

Институт теоретической и прикладной математики Национальной Академии наук Кыргызской Республики


Номер: 1-1
Год: 2017
Страницы: 6-12
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

интегрируем по частям, формулой Дирихле, integration by parts, the Dirichlet formula

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В этой статье рассматривается вопрос о квадратичной интегрируемости и единственности решения линейных интегральных уравнений типа Вольтерра-Стилтьеса с двумя независимыми переменными.

Текст научной статьи

В [2] статье введено понятие производная и дифференциал функции по возрастающей функции . Здесь на основе этого понятия изучены вопросы квадратичной интегрируемости решений интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса на бесконечной области. Вопросы ограниченности квадратичной интегрируемости и устойчивости решений для дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений изучались во многих работах, например, в [1,3]. В работе [2] понятие частных производных функции по возрастающей функции определены следующим образом: . Нахождение производной функции по будем называть дифференцированием по этой функции. Если функция в точке имеет конечную производную по , то функция называется дифференцируемой по в этой точке. Функция , дифференцируемая по во всех точках области называется дифференцируемой по на . Рассмотрим уравнение: , , (1) где - известные непрерывные функции, - неизвестная функция,и - возрастающие непрерывные функции в , здесь все интегралы понимаются по Стилтьесу. Обозначим через -пространство всех непрерывных функций на . Через обозначим пространство всех функций , удовлетворяющих условию ТЕОРЕМА. Если выполняются условия: , а) функции Î С(G1), и при и при ; б) функции , , , ÎС(G2), и при ; и при ; в) функции , , , , , , , , , , , Î С(G3), при , при , , , , , , при , , , , , , , при ; г) при , при , то уравнение (1) имеет единственное решение в . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из непрерывности всех известных функций в (1) следует, что это уравнение имеет непрерывное решение . Обе части тождества (1) умножим на и проинтегрируем по области . Тогда . (2) Преобразуем каждый из интегралов левой части уравнения (2) по формуле интегрирования по частям, обобщенную формулу Дирихле и используем следующую формулу: . . Применив обобщенную формулу Дирихле, имеем: . (3) Аналогично этому получим для второго слагаемого: . (4) Для преобразования третьего интеграла используем следующую формулу: при . Тогда, интегрируя по частям, имеем: . (5) Отсюда, используя формулу и обобщенную формулу Дирихле, получим: . (6) Учитывая формулы (3), (4), (5), (6) и условие в), из (2) имеем . (7) В силу условий а), б), в) и г), из (7) имеем . (8) В правой части неравенства (8), применяя неравенство Коши - Буняковского, получим . Отсюда следует, что при . Из последнего неравенства переходом к пределу при и получим: . (9) Таким образом, теорема доказана.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.