ОПЕРАТОРЫ, СОХРАНЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ БАЗИЛЕВИЧА Султыгов М.Д.

Ингушский государственный университет


Номер: 1-1
Год: 2017
Страницы: 19-23
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

Оператор дифференцирования и интегрирования, интегральное представление, функции Базилевича типа и порядка, The operator of differentiation and integration, integral representation, functions Bazilevich type and order

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Текст научной статьи

Введение. В 1955 г. И. Е. Базилевич [1], интегрируя уравнение Левнера - Куфарева со специальной правой частью, доказал, что функция вида где , g - звездная функция, h - функция с неотрицательной вещественной частью, принадлежит классу S однолистных нормированных конформных отображений единичного круга . До сих пор класс функций Базилевича (1) является наиболее широким подмножеством S, допускающим интегральное представление. Отметим, что среди функций Базилевича содержатся выпуклые (), почти-выпуклые (К) функции и другие. Многочисленные исследования последних лет посвящены изучению аналитических и геометрических свойств класса . Были найдены критерии принадлежности функций классу Базилевича [2], [3], приведены геометрические характеристики образов U при отображениях функциями Базилевича в терминах достижимости извне спиральными кривыми [2], описаны интегральные операторы, сохраняющие класс Базилевича [4,5]. Большой интерес вызывают функции Базилевича нескольких комплексных переменных с разложением в полных ограниченных кратнокруговых областях или в их подобластях замыкание области Целью настоящей статьи является показать, как интегральные операторы и другие операторы, сохраняют не только класс Базилевича, но и любой его подкласс, выделяемый достаточно общими ограничениями на подынтегральную функцию. Будем считать функцией класса Базилевича если где 0 Здесь [6]. Обратным к является оператор Теорема 1. Если то . Теорема 2. Если то при всех . Определение 1. Пусть функция имеет разложение нескольких комплексных переменных мы будем называть функцией Базилевича типа и порядка если где . Класс функций с условием , где степенную функцию понимают в смысле главного значения, обозначим Теорема 3. Теорема 4. Необходимым и достаточным условием принадлежности голоморфной функции классу является ее интегральное представление где функции принадлежат . Обозначим через функции Базилевича нескольких комплексных переменных с разложением (2), голоморфные в и удовлетворяющие условию , где функция Теорема 5. Функция тогда и только тогда, когда она имеет представление в виде где , Доказательство. Пусть , то есть удовлетворяет условию (5).Тогда ,где . Замечая, что легко получить Применяя теперь обратный оператор к обеим частям равенства (6),приходим к (5). Достаточность легко показывается, если провести рассуждения в обратном порядке. Определение 2., Множество функций,,удовлетворяющих условиям где - назовем классом функций Базилевича Теорема 6.. Функция принадлежит классу при - тогда и только тогда, когда существует такая функция, что в где для степенной функции взято главное значение. Доказательство. Пусть . Тогда функция и для неё будем иметь Для наглядности доказательство теоремы проведем для функции двух комплексных переменных. Докажем сначала равенство (6), а затем (5). После несложных преобразований имеем: Введем обозначения . Имеем Перепишем (5) в виде отсюда Из (3) и (5) следует неравенство совпадающее с критерием принадлежности функции классу звездных функций [11,c.12]. Рассматривая (6) как уравнение для нетрудно записать в виде (4). Итак, представима в виде (4) с функцией определяемой формулой (5). Обратно, пусть задана функция Тогда функция , определенная формулой (4), будет голоморфной в , так как , а (4) можно записать в виде где функция класса Поэтому , так что и из (4) получается (6). Следовательно, будет удовлетворять равенству (4) и Лемма 1. Пусть Обозначим через класс голоморфных функций в функций ,удовлетворяющих условию Тогда голоморфная в функция , которая определяется уравнением где тоже принадлежит классу Теорема 4. При имеет место вложения . Следствие 1. Если то

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.