О ЛИНЕЙНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ КРОТОВЫХ НОР, ОБРАЗОВАННЫХ ДВУМЯ СКАЛЯРНЫМИ ПОЛЯМИ Бакирова Э.М.

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына


Номер: 1-3
Год: 2017
Страницы: 7-12
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

кротовые норы, скалярные поля, линейная устойчивость, wormholes, scalar fields, linear stability

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В рамках общей теории относительности исследована линейная устойчивость статических сферически-симметричных кротовых нор, образованных двумя взаимодействующими духовыми скалярными полями. Показана неустойчивость системы относительно радиальных возмущений метрики и скалярных полей.

Текст научной статьи

1 Введение Открытое в конце 1990-х годов ускоренное расширение современной Вселенной стимулировало поиск механизмов, описывающих такое ускорение. В настоящее время самой разработанной гипотезой является предположение о существовании во Вселенной специальной формы материи - темной энергии (ТЭ), - обеспечивающей ускорение и распределенной однородно и изотропно [1]. Однако, если переходить к рассмотрению более малых масштабов, сравнимых с размерами звезд или галактик, то и здесь ТЭ может играть определенную роль. В частности, в литературе рассматриваются объекты, частично или полностью состоящие из ТЭ и обладающие как тривиальной, так и нетривиальной топологией пространства-времени. К конфигурациям последнего типа относятся так называемые кротовые норы (КН) - гипотетические объекты, образованные веществом, нарушающим, как и некоторые типы ТЭ, световое условие энергодоминатности [2]. Простейшей возможностью нарушения этого условия является введение так называемых духовых скалярных полей. При моделировании КН используются как безмассовые духовые поля [3], так и поля с потенциальной энергией [4, 5]. При этом задача обычно сводится к получению регулярных статических решений, описывающих горловину КН, которая соединяет два асимптотически плоских (или не плоских) пространства-времени. Однако, как и в случае других моделей компактных объектов, необходимо получать не просто регулярные решения, а решения, описывающие системы, способные существовать в равновесном состоянии достаточно длительное время. Только такие системы могут считаться жизнеспособными в плане описания реалистичных астрофизических объектов. В этой связи в литературе большое внимание уделяется рассмотрению различных типов устойчивости компактных конфигураций. В частности, для моделей КН с одним духовым полем были проанализированы как линейная [6, 7], так и нелинейная устойчивость [8], показавшие неустойчивость КН такого типа. Другие попытки поиска устойчивых КН сводятся либо к выбору специальных типов вещества (см., например, работу [9]), образующего КН, либо к рассмотрению КН в рамках модифицированных теорий гравитации [10]. Здесь, работая в рамках общей теории относительности, мы рассмотрим случай, когда КН образована двумя духовыми скалярными полями. Для такой системы статические решения были получены в [11]. Целью данной статьи является исследование линейной устойчивости этих решений. 2 Постановка задачи Будем рассматривать систему, состоящую из двух гравитирующих нелинейно взаимодействующих духовых скалярных полей и , которые вводятся путем замены знака кинетического слагаемого в лагранжиане. Такие поля допускают присутствие в системе нетривиальной топологии пространства-времени типа КН. В рамках общей теории относительности лагранжиан такой системы может быть представлен в виде: (1) Здесь есть 4-мерная скалярная кривизна, - гравитационная константа, - потенциальная энергия скалярных полей. (Здесь и далее мы работаем в единицах .) Варьируя лагранжиан (1) по метрике и скалярным полям, можно получить гравитационные уравнения Эйнштейна и уравнения для скалярных полей в следующем виде: (2) (3) где тензор энергии-импульса (4) Входящая сюда потенциальная энергия может быть выбрана в различном виде в зависимости от постановки задачи. При построении решений типа КН в литературе используются потенциалы с двумя или более экстремумами, что позволяет находить локализованные регулярные решения. В частности, в случае системы с одним скалярным полем это может быть потенциал типа “мексиканской шляпы”, для которого найдены регулярные решения с нетривиальной топологией пространства-времени [4]. Первоначальный анализ устойчивости такой системы показал ее стабильность относительно линейных возмущений [5]. Однако выполненный в недавней работе [12] более полный анализ выявил линейную неустойчивость такой системы с одним скалярным полем. Здесь мы рассмотрим случай системы с двумя скалярными полями, потенциальная энергия которых задается в следующем виде: (5) Здесь и есть массы скалярных полей, - произвольные константы связи, - некоторая константа, величина которой выбирается из конкретной постановки задачи. Выполненные ранее в работе [11] исследования систем с таким потенциалом в различных постановках задачи указывают на существование регулярных статических решений системы уравнений (2) и (3), которые ниже будут исследованы на устойчивость для случая конфигураций с нетривиальной топологией типа КН. 3 Линейная устойчивость статических конфигураций Рассмотрим сферически-симметричные возмущения кротовых нор, описываемых лагранжианом (1). При получении уравнений на возмущения будем пренебрегать всеми величинами второго и более высокого порядка. Для описания возмущений воспользуемся обобщенной метрикой (6) где и есть функции радиальной координаты и временной координаты , а - метрика на единичной 2-сфере. Выбор метрики в такой форме позволяет учитывать малые движения 2-сферы, которые в общем случае должны присутствовать при рассмотрении задач с наличием КН. Согласно общему подходу к рассмотрению возмущений гравитирующих систем со скалярными полями (см., например, [13]), функции , , , и , присутствующие в системе, могут быть представлены в следующей гармонической форме (7) где обозначает одну из указанных выше функций; индекс 0 соответствует статическим решениям полевых уравнений, индекс - возмущению, функция зависит только от безразмерной пространственной координаты (см. ниже), а есть частота радиальных колебаний. Рис. 1. Типичные распределения безразмерных статических скалярных полей (левая панель) и их полной плотности энергии из (4) (правая панель). Асимптотически при поле , а (ввиду симметрии системы относительно замены показаны только решения при ). Графики построены при собственных значениях масс , и константах связи . Для статических систем возмущенная часть в (7) отсутствует, и тогда решение полевых уравнений (2) и (3) описывает КН, исследованные в работе [11]. Там было показано, что регулярные решения существуют только при определенных (собственных) значениях параметров из (5), и задача решалась методом пристрелки. Для численного счета удобно ввести безразмерные переменные , , , , а также безразмерный потенциал: (8) (Здесь и далее мы опускаем тильду у для упрощения записи формул.) Результаты численных расчетов для статической задачи представлены на рис. 1. Произвольная константа выбирается таким образом, чтобы значение потенциала (8) было равным 0 в его локальном минимуме, т.е. мы берем . При таком выборе плотность энергии скалярного поля стремится к 0 при , см. правую панель рис. 1. Для исследования устойчивости этих статических решений воспользуемся метрикой (6) в калибровке , (см., например, работу [12]). Тогда из уравнений (2) и (3) можно получить следующую систему уравнений на возмущения: а) Уравнения на скалярные поля (штрих обозначает производную по ): (9) (10) б) (1-1) компоненту уравнений Эйнштейна в возмущениях (уравнение связи): (11) где Другое уравнение связи следует из (0-1) компоненты уравнений Эйнштейна: (12) в) (0-0) и (2-2) компоненты уравнений Эйнштейна дают соответственно: (13) (14) Итого, для численного счета будем использовать четыре уравнения (9), (10), (13) и (14) со следующими граничными условиями в центре системы: (15) Соответствующие первые производные возмущений в центре положим равными 0. При этом уравнение связи (12) удовлетворяется тождественно, а из (11) имеем следующую связь на центральные значения: где и - центральные значения соответствующих статических функций. Таким образом, из четырех произвольных параметров, входящих в (15), независимы только три. Еще одним параметром является частота . В итоге, для получения требуемых решений на возмущения необходимо подбирать такие значения указанных параметров, которые обеспечивают регулярные асимптотически затухающие решения. Для этого полезно найти асимптотическое поведение решений. Асимптотические статические решения на метрические функции есть: (16) Для статических скалярных полей имеем на асимптотике: (17) где есть константы интегрирования. Асимптотическое поведение возмущений скалярных полей описывается следующими выражениями, получаемыми из (9) и (10): (18) где - константы интегрирования. Далее, из уравнения (12) можно найти: Подставляя это выражение в (11) и учитывая (16)-(18), получим уравнение частное решение которого есть: (19) где - константа интегрирования. Соответственно для возмущения имеем: (20) Перейдем теперь к результатам численных расчетов. Система уравнений (9), (10), (13) и (14) с граничными условиями (15) определяет задачу на собственные значения . При этом вопрос об устойчивости конфигурации сводится к исследованию возможных значений . Если какое-либо из значений отрицательно, то возмущения будут расти, а рассматриваемые конфигурации будут неустойчивыми относительно радиальных возмущений. Выбирая различные граничные условия (15) и величины констант связи , мы искали регулярные решения для возмущений скалярных полей и метрики. Примеры типичных решений представлены на рис. 2. Численные расчеты показывают, что для рассматриваемой системы регулярные решения существуют только при отрицательных значениях . То есть исследуемые здесь КН являются линейно неустойчивыми. Рис. 2. Характерные графики возмущений скалярных полей (левая панель) и метрических функций (правая панель) для статических решений рис. 1. Граничные условия (15) выбраны как . Собственная частота . Асимптотически при возмущения стремятся к нулю согласно выражениям (18)-(20). 4 Заключение Исследована устойчивость кротовой норы, образованной двумя взаимодействующими духовыми скалярными полями с потенциальной энергией специального типа. Нашей целью был поиск возможности получения устойчивых равновесных сферически-симметричных конфигураций с нетривиальной топологией пространства-времени. Анализ устойчивости выполнялся в рамках линейного приближения путем исследования сферически-симметричных радиальных возмущений решений, описывающих статические равновесные конфигурации. При этом, следуя работам [6, 7], учитывались деформации горловины КН. Выбирая различные граничные условия в центре системы и величины свободных параметров задачи (констант связи ), показано, что все рассмотренные решения неустойчивы относительно линейных возмущений метрики и скалярных полей. Очевидно, что получаемая неустойчивость, как и в случае КН с одним духовым скалярным полем [6, 7, 12], связана с природой полей такого рода. Возможность стабилизации таких систем связана с включением вращения, как это было показано для 5-мерных [14] и 4-мерных [15] кротовых нор. Можно ожидать, что быстрое вращение способно также стабилизировать системы с двумя скалярными полями. Этот вопрос должен быть рассмотрен отдельно. Благодарности Автор благодарна В.Н. Фоломееву за постановку задачи и обсуждение полученных результатов. Работа поддержана грантом Министерства образования и науки Кыргызской Республики.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.