ОБ ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Ражабов Э.О.

Ташкентский технический университет


Номер: 10-1
Год: 2017
Страницы: 5-7
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

динамическая система, траектория, векторное поле, иррациональный поток тора, dynamical system, trajectory, vector field, irrational winding of a torus

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В работе изучается динамическая система, порожденная векторным полем. Доказывается,что динамическая система либо изоморфна рациональному потоку, либо иррациональному потоку.

Текст научной статьи

В начале работе напомним понятие иррационального потока на торе, который является хорошо известной динамической системой на двумерном торе [1-5]. Двумерный тор (поверхность "бублика"), по определению, это прямое произведение двух окружностей: . Его можно также представлять как квадрат с отождествленными противо-положными сторонами или (что нам наиболее удобно) как плоскость с отождествленными точками, координаты которых отличаются на векторы вида , , . Двумерный тор является простейшим двумерным многообразием на котором не имеет место теорема Пуанкаре - Бендиксона, т. е. наличие на торе замкнутых кривых без самопересечений, которые не делят тор на две связные компоненты. В отличие от тора, на двумерной сфере S2 теорема Жордана выполнена. Поэтому имеет место Теорема Пуанкаре - Бендиксона на сфере [1-4]. Пусть -гладкое векторное поле на двумерном торе . Тогда, если ω-предельное множество траектории динамической системы,определенной этим полем не содер-жит стационарных точек, то она является циклом. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений на плоскости с координатами где постоянные числа. Эта динамическая система индуцирет динамическую систему на торе, так правая часть системы периодической функцией. Если отношение рационально, то любая траектория на торе - замкнутая периодическая орбита. В этом случае соответствующий поток называют рациональной обмоткой тора. Если же это отношение иррационально, то любая траектория плотна на T2, В этом случае говорят об иррациональной обмотке тора. Рассмотрим динамическую систему, порожденную следующим вектор-ным полем. В трехмерном евклидовом пространстве с декартовыми координатами рассмотрим векторное поле Если ,то , т.е. множество состоит из точек равновесия. Если , то имеет место следующая теорема. Теорема. Траектории динамической системы , проходящая через точку лежит на торе при . Если , то окружность является интегральной кривой, где . Более того, в зависимости от размера тора, динамическая система либо изоморфна рациональному потоку, либо иррациональному потоку. Доказательство. С помощью дифференциального уравнения в частных производных находим . Для удобства введем тороидальную систему координат с помощью следу-ющих формул векторное поле и функция в тороидальной системе координат имеют следующий вид: соответственно. Непосредственно можно проверить, что . Динамическая система, определяемая векторным полем в торои-дальной системе координат запишется в следующем виде Эта система эквивалентна следующему дифференциальному уравнению Это дифференциальное уравнение является уравнением в полных диф-ференциалах. Действительно, если положим то, уравнение имеет вид и имеет место равенство Интегралом этого уравнения является функция где числа находится из равенства или Учитывая, что получим , В силу того, что траектории динамической системы являются линиями уровня функции При имеет место равенство В этом случае динамическая система изоморфна рациональному потоку, в других случаях изоморфна иррациональному потоку. Теорема доказана

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.