ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ НА БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ Абдукаримов А.М.

Институт теоретической и прикладной математики Национальной Академии наук Кыргызской Республики


Номер: 3-3
Год: 2017
Страницы: 14-20
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

матричная функция, вектор-функция, дифференцируемая вектор функция, интегрирование, matrix function, the vector function, differentiable vector function, integration

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В этой статье изучается ограниченность решений систем интегро-дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечных областях. Чтобы показать ограниченность решения систем применяется метод неотрицательных квадратичных форм.

Текст научной статьи

Рассматривается векторно-матричное уравнение , (1) , () с условиями , (*) где - - мерные самосопряженные заданные матричные функции; - заданная и -неизвестная -мерные вектор-функции; . Под скалярным произведением векторов будем принимать соотношение . Будем считать, что вектор , если его каждая компонента квадратично суммируема в , т.е. для любого , где . В [2] статье введено понятие производной и дифференциала функции по возрастающей функции . Здесь на основе этого понятия изучены вопросы квадратичной интегрируемости решений интегро-дифференциальных уравнений с частным производным на бесконечной области. Вопросы ограниченности квадратичной интегрируемости и устойчивости решений для дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений изучались во многих работах, например в [1,3 ,4]. ТЕОРЕМА. Если выполняются условия: (), а) матричные функции , , , при (t, x)Î С(G); б) матричные функции , при и при в) матричные функции , , , при и при г) матричные функции и , при , при , , при и , , , при ; . д) для любых при , то задача (1) - (*) имеет единственное решение в . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Произведем следующую подстановку . (2) Тогда задача (1)-(*) сводится к следующей системе интегральных уравнений второго рода: . (3) Ясно, что, задача (1)-(*) эквивалентна системе интегральных уравнений (2)-(3). Умножив скалярно обе части системы (3) на вектор функцию и интегрируя по области , имеем: + . (4) Преобразуем каждый из интегралов левой части системы равенства (4), за исключением первого по формуле интегрирования по частям и используем следующую формулу . . (5) Аналогично, для второго слагаемого получаем: . (6) Далее используя, формулу Заметим, что , третье слагаемое левой части системы (4) перепишем в виде: , . (7) Интегрируя по частям с использованием формулы и формулы Дирихле, преобразуем левую часть соотношение (4) . (8) Аналогично этому получим: . (9) Для преобразования интеграла используем следующую формулу при . Преобразуем последний интеграл в левой части соотношения (4): . (10) Далее используя, формулу и формулу Дирихле, из последнего соотношения, получим . (11) Учитывая соотношения (5), (6), (7),(8), (9), (11) условия г) и формулу Дирихле, из (4) имеем: . (12) В силу условий а) - д ) левая часть соотношения (12) неотрицательна, поэтому отсюда вытекает следующее неравенство . (13) В правой части неравенства (13) применяем неравенство Коши - Буняковского. . , . Из последнего неравенства переходом к пределу при и получим: при . Таким образом теорема доказана.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.