ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА НА БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ Абдукаримов А.М.,Жадилов Б.М.

Институт теоретической и прикладной математики Национальной Академии наук Кыргызской Республики


Номер: 3-3
Год: 2017
Страницы: 20-26
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

интегрируем по частям, формулой Дирихле, integration by parts, the Dirichlet formula

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

В этой статье рассматривается вопрос об единственности и об ограниченности решений линейных интегро-дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными на бесконечной области.

Текст научной статьи

Рассмотрим уравнение , , (1) с условиями , (*) (f) где - известные непрерывные функции, - неизвестная функция по области . Вопрос единственность и принадлежность решения пространству непрерывных и квадратичных суммируемых функций для линейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра на полуоси рассматривался в работе [1]. Для систем линейных интегральных уравнений типа Вольтерра I рода на полуоси изучены в работе [3]. Для функций от двух независимых переменных аналогичных вопросы исследовались в работах [2]. Ограниченность и устойчивость решения слабо нелинейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка типа Вольтерра на полуоси рассмотрена в работе [4]. ТЕОРЕМА 1. Если выполняются условия: (f), а) функции ÎC(G); ,при (t,x) Î G; , при (t,x)ÎG; б) функции ,,Î С(G1), и при и при , в) функции , , , ÎС(G2), и при ; и при ; г) функции , , , , , , , , , , , Î С(G3), , при , при , , , , при ,, при ; д) при , при , то уравнение (1)-(*) имеет ограниченное решение в . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сделаем следующую подстановку (2) Подставляя (2) в (1) имеем , , (3) Обе части тождества (3) умножим на и проинтегрируем по области . Тогда . (4) Введем обозначение при помощью которого перепишем (2) в следующем виде . (5) Преобразуем каждый из интегралов левой части уравнения (5) по формуле интегрирования по частям и используем следующую формулу . (6) (7) Далее используя, формулу (8) Далее пользуясь формулами , и интегрирования по частям и формулой Дирихле, преобразуем левую часть соотношения (5) . Применив формулу Дирихле, имеем . (9) Аналогично этому получим для седьмого слагаемого . (10) Для преобразования восьмого интеграла используем следующую формулу при . Тогда, интегрируя по частям, имеем . Далее используя, формулу и формулу Дирихле, получим . (11) Учитывая формулы (6), (7), (8), (9), (10), (11) и условие д), из (5) имеем . (12) В силу условии а), б), в), г), д) и е) из (12) имеем (13) С учетом этого из (13) имеем Отсюда в силу условия (f) имеем из которого следует Следовательно, ограничена при . Таким образом, теорема доказана.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.