ЛОКАЛИЗАЦИЯ И КОНЕЧНОМЕРНОЕ ПОРЯДКОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА Калашников А.Л.

Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского


Номер: 4-1
Год: 2017
Страницы: 11-17
Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук

Ключевые слова

оптимальное управление, порядок, КВ-линеал, k-задачи, сходимость, optimal control, ordinal, KV-lineal, k-problems, convergence

Просмотр статьи

⛔️ (обновите страницу, если статья не отобразилась)

Аннотация к статье

Рассматривается задача оптимизации в КВ-линеале управлений. Для этой задачи имеется последовательность конечномерных k-задач. Приведены условия порядковой ограниченности оптимальных множеств управлений исходной задачи и k-задач и порядковой сходимости оптимальных управлений k-задач к оптимальному множеству исходной задачи.

Текст научной статьи

В статье рассматривается 0-задача минимизации функционала при операторном и функциональных ограничениях на состояние и управление . Пространство управлений здесь КВ-линеал с единицей определенного в [1, 84]. Например, это имеет место для задачи оптимального управления с интегральными ограничениями и интегральным целевым функционалом в КВ-линеале . К исходной 0-задаче имеются k-задачи минимизации в конечномерных подпространствах . Приведены условия, когда аргументы минимума в 0-задаче и в k-задаче e-ограничены по порядку. Доказана также компактность минимизирующей и порядковая сходимость в к - оптимальному множеству, то есть в более сильной метрике, чем в . Здесь есть КВ-линеал e-ограниченных элементов, определённый в [1,198]. Отметим, что эту сходимость по терминологии [2,178] можно назвать e-регулярностью, полученной здесь без стабилизатора, определённого в [2,165]. 1. Рассматривается 0-задача: , , , , . Здесь операция , где X, Z - банаховы пространства, а пространство есть КВ-линеал с единицей . Функционалы ,и операция F класса на . Пусть для всех уравнение имеет единственное решение класса . Например, такое имеет место на основе теоремы о неявной функции [3,40]. Тогда все класса и 0-задача представляется в виде: , , . (1) Пусть в 0-задаче (1) допустимое множество и , а также , где - некоторое множество и - аргумент минимума в (1). Условия имеются, например, в [2,46]. Введем функцию Лагранжа с . По [4,209] имеем для некоторых чисел при . Предположим, что сопряженное - КВ-линеал с единицей и - КВ-линеал a-ограниченных элементов в . Далее - норма в и - норма в , а - модуль для и . Пусть для , где ,- функционалы класса на , а . Далее, с , . Лемма. Пусть последовательность и компактна в , а любой её частичный предел . Тогда = 0. Доказательство здесь аналогично основной лемме 1 о регуляризации [2,178] с учётом компактности и . Теорема 1. Пусть существуют числа ,, и 1) для всех и при ; 2) существует оператор : с и такой, что при всех с и модуль . Тогда , а . Доказательство. Так как с и , то по виду , имеем . Пусть , в . Тогда . Поскольку , то по условию 1) . Из равенства с оценкой по модулю получаем . Так как , то из определения функционала получаем . Поскольку , то по имеем оценку: . Отсюда и . Теорема доказана. 2. Пусть имеются конечномерные подпространства при с такой же нормировкой как в и k-задачи: , , , с допустимым множеством . Так как , а по непрерывности множество замкнуто в , то с ним и все или замыкание и . Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и существует ─ аргумент минимума в k-задаче. Тогда A) для некоторых чисел с и ; B) для всех модуль и . Доказательство. Очевидно, . По [4,209] существуют с и . Тогда верно A). Доказательство же B) аналогично как в теореме 1 с учетом . Теорема доказана. Назовём k-задачи минимизирующими 0-задачу по функционалу, если существует при в k-задаче. Если же и ─ аргумент минимума, то будет минимизирующей. Теорема 3. В условиях теоремы 2 и C) для и любой компактна в ; D) . Тогда последовательность , будет минимизирующей и компактной в , а её частичные пределы со значением и . Доказательство. Из и определения , имеем , где и . Поскольку , то на основе условия C) теоремы 3 компактна в при . Но и . Тогда и как ограниченная для компактна в . Поэтому имеем компактность и в . На основе равенства получаем компактность в . По теореме 2 . Используя условия 2) теоремы 1, нетрудно установить, переходя к сходящимся в подпоследовательностям , компактность в . Пусть - частичный предел для . Тогда существует с в и . Так как из сходимости в следует сходимость и в [2,199], то в предел . По непрерывности операции и в получаем в , а из в пределе . Следовательно, . Из условия D) . Но . Поэтому будет минимизирующей. Очевидно, имеем при . По непрерывности в пространстве существует . Отсюда , а так как , то, следовательно, . По доказанному выше компактна в , а любой её частичный предел . Тогда, применяя лемму для множества , получаем в пространстве . Теорема доказана. Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3, а для существует аппроксимация при и , где . Тогда и компактна в , а её частичные пределы и существует . Кроме того, . Доказательство. По теореме 3 компактна в с частичными пределами . Из при имеем компактность в и такие же с частичные пределы . Тогда . Поскольку сходимость в влечет [1,199] также сходимость в , то компактна и в . По непрерывности в , компактности в и равенстве для всех получаем . Применяя лемму для , имеем . Теорема доказана. 3. Приведём пример конечномерных подпространств , при которых выполнены условия и заключения вышеизложенных теорем. Пусть существует линейно-независимая система такая, что , где - линейная оболочка для . Введём в норму пространства . Тогда на основе [5,144] - конечномерное банахово подпространство в . Предположим, что . Такое, в частности, будет, если в ограничениях некоторый , где - постоянная. Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 1, условие C) теоремы 3 и . Тогда I) существует ─ аргумент минимума в k-задаче и , а модуль и ; II) минимизирующая в 0-задаче, компактная в и . Доказательство. Очевидно, для всех . Отсюда имеем . Так как , то все. Поскольку , а по предположению ограничено по норме. то все ограничены по норме той же const. На основе [5,142] сходимости в и в равносильны. Тогда по [5,142] будет компактно и замкнуто в и . Так как непрерывен, то по теореме Вейерштрасса [2,46] существует ─ аргумент минимума в k-задаче и по ней же для существует . Очевидно, . Определим для и отображение . Введём . Тогда и . Но и . Отсюда . Пусть . Тогда существует , для которого . Поскольку , то при . Но , если . Поэтому для и в существует . Так как непрерывен в , то . Следовательно, (2) Поскольку при , то и При переходе к верхнему пределу получаем неравенство . Отсюда, применяя равенство (2) , имеем для всех (3) Поскольку и , то для всех существует с в . Тогда предел по непрерывности в . Полагая в (3) и фиксируя , получаем . Отсюда при переходе к пределу, когда . Нетрудно установить неравенство . (4) Поскольку , то длявсех будет и при получаем . Отсюда . С учётом (4) имеем . Тогда . Поэтому или и, тем самым, выполнено условие D) теоремы 3. По доказанному выше существует ─ аргумент минимума в k-задаче, а по предположению выполнены условия теоремы 1. Тогда, применяя теорему 2, получаем и и утверждение I) доказано. По предположению выполнено условие C) теоремы 3 и доказано выполнение условия D). Применяя теорему 3 с учетом , получаем, что минимизирующая в 0-задаче и компактная в , а также . Утверждение II) установлено. Теорема доказана. Замечание. Условие , например, выполняется, если или при . По теореме 5 k-задача есть минимизация на конечномерном компакте и корректна [2,163] и к ней применимы различные методы минимизации для конечномерных пространств. Рассмотрим 0-задачу оптимального управления в интегральной форме: , , (5) , , где , , где ─ вектор-функция, а ─матрица размера . Пусть , , , класса при всех , , . Тогда для системы , где ─ вектор-функция многочлен, а при выполнении условий вышеизложенных теорем на основе [6], получаем сходимость оптимальных управлений в или почти всюду равномерно.

Научные конференции

 

(c) Архив публикаций научного журнала. Полное или частичное копирование материалов сайта возможно только с письменного разрешения администрации, а также с указанием прямой активной ссылки на источник.